Метод исключения – Метод исключения

Метод исключения

Метод исключения — один из видов логического доказательства; в результате получается уверенность, что случай, оставшийся после исключения всех других, и есть искомый.

В нашей стране много атеистов, и это дань нашей истории. Из людей буквально с детства вытравливали веру в существование Бога и внушали «веру в науку».

Поэтому неудивительно, что разговаривая с людьми, которые прошли такую атеистическую обработку,  верующий человек часто слышит типичное возражение:

— А вы докажите, что Бог существует. Я его лично не видел, да и никто другой тоже… Поэтому мне легче  верить в то, что человек произошёл от обезьяны.

Казалось бы тупиковая ситуация: доказать существование того, кого невозможно увидеть и зафиксировать какими-либо приборами!

Но не стоит отчаиваться. Первое, что можно сделать, так это привести контраргумент:

— А вы докажите, что его нет?

Доводы, что я его не видел, можно легко парировать тем, что в мире есть много того, что мы не можем увидеть.

Например, радиоволны: никто их не видел, но все верят, что они есть.

Я вот тоже, например, не видел, как зародилась первая клетка в первичном бульоне. Да и как обезьяна превращалась в человека, тоже никто не видел и на видеокамеру не заснял.

Итак, счёт 1:1. Это уже неплохо. Но нас ничья не устраивает, так как мы уверены, что правда на нашей стороне.

Как же «научно» и логично попытаться  доказать атеисту, что Бог существует?

Что такое метод исключения?

Вот здесь нам и поможет «метод исключения», который я сам лично не раз применял. Обычно это работает, если, конечно, у человека всё в порядке с логическими мышлением и здравым смыслом. Как же это действует? Приводим такой пример:

Представим себе коробку, в которой лежат два кубика: чёрный и белый. Коробка закрыта, но мы знаем, что они там.

И вот нам дают засунуть руку в коробку и вытащить наугад один из кубиков. Мы засовываем руку и, предположим, вытаскиваем белый. Какой кубик остался в коробке?

Даже не видя, что там внутри мы без колебаний скажем — чёрный. И это очевидно.

teonote.ru

Исключения метод — это… Что такое Исключения метод?



Исключения метод

(лог.) — один из видов логического доказательства; состоит в перечислении всех частных случаев какого-либо общего положения, за исключением одного, и в доказательстве неприменимости их к требуемому выводу; в результате получается уверенность, что случай, оставшийся после исключения всех других, и есть искомый. Метод И. есть доказательство косвенное; полная уверенность в справедливости вывода путем исключения получается лишь тогда, когда, во-1-х, перечисление всех случаев действительно полное и, во-2-х, когда исключение каждого случая непреложно верно.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

• Исключение из службы
• Исключительные законы

Смотреть что такое «Исключения метод» в других словарях:

• Метод Квайна — Метод Куайна способ представления функции в ДНФ или КНФ с минимальным количеством членов и минимальным набором переменных.[1][2][3] Преобразование функции можно разделить на два этапа: на первом этапе осуществляется переход от канонической формы… …   Википедия

• метод упорядоченного исключения — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN ordered elimination technique …   Справочник технического переводчика

• метод упорядоченного исключения (при обработке матриц) — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN ordered elimination method …   Справочник технического переводчика

• метод стандартизации в статистике — метод исключения влияния неоднородности состава групп на результаты их сравнения путем расчета условных стандартизованных показателей …   Большой медицинский словарь

• МЕТОД — (лат. methōdus < греч. méthodos путь (ис)следования, способ) совокупность относительно однородных приемов, операций практического или теоретического освоения действительности, подчиненных решению конкретной задачи. В педагогике разработка М.… …   Российская энциклопедия по охране труда

• Исключения — Обработка исключительных ситуаций (англ. exception handling)  механизм языков программирования, предназначенный для описания реакции программы на ошибки времени выполнения и другие возможные проблемы (исключения), которые могут возникнуть при… …   Википедия

• Метод индукции — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• ИСКЛЮЧЕНИЯ ТЕОРИЯ — теория исключения неизвестных из системы алгебраич. уравнений. Более точно, пусть имеется система уравнений где fi многочлены с коэффициентами из заданного поля Р. Задача исключения неизвестных х 1 ,…, х k из системы (1) (неоднородная задача… …   Математическая энциклопедия

• Метод Гаусса — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация). Метод Гаусса[1]  классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью… …   Википедия

• МЕТОД ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК — специфич. социологич. метод получения информации об объекте с помощью специалистов экспертов в определенной области. Экспертные оценки широко используются в прогнозировании, при определении целей соц. развития или принятии плановых решений,… …   Российская социологическая энциклопедия

Книги

• Единая картина мира. Системно-структурный метод, А. М. Андреюшкин. Мир не прост, хотя в своей целостности един. Однако, познавая его все шире и глубже, мы постоянно сталкиваемся с все возрастающим количеством новых проблем. Решив одни, возникают другие, не… Подробнее  Купить за 250 руб электронная книга
• Метод исключения, Груздов А.. Сотрудники Управления национальной стратегической безопасности России «Вектор-100», капитан Мартынов и Макс, под видом крупных российских бизнесменов отправляются во Францию, где должна… Подробнее  Купить за 236 руб
• Метод исключения, Аркадий Груздов, Елена Конышева. Сотрудники Управления национальной стратегической безопасности России Вектор-100, капитан Мартынов и Макс, под видом крупных российских бизнесменов отправляютсяво Францию, где должна… Подробнее  Купить за 220 грн (только Украина)

Другие книги по запросу «Исключения метод» >>

dic.academic.ru

Метод исключения. Психология критического мышления

Метод исключения

Давайте вернемся к уже обсуждавшейся проблеме покупки автомобиля, поскольку это решение, которое каждому из нас приходится принимать неоднократно. С чего начать, когда рынок наводнен различными моделями? Многие начинают процесс принятия подобного решения с применения стратегии, известной под названием метода исключения, хотя мало кто знает это название (Tversky, 1972). Человек, озабоченный безработицей в автомобильном секторе Соединенных Штатов, в первую очередь отбросит все марки автомобилей, изготовленных за пределами США. В данном случае, рассматриваемым параметром является место изготовления автомобиля. Далее, большинство людей принимает решение о том, какие именно характеристики автомобиля являются для них наиболее важными. Предположим, что вы ограничены в средствах, а потому стоимость является важным показателем. Возможно, вы рассмотрите стоимость различных моделей форда, плимута, шевроле и других автомобилей американского производства. В результате будут отброшены все модели, стоимость которых выходит за установленные вами пределы.

Давайте далее предположим, что следующей важнейшей характеристикой является частота ремонтов. Разумеется, никто вам заранее не скажет, как часто ваша машина будет нуждаться в починке, но, тем не менее, вы вполне можете снизить элемент неопределенности, если попытаетесь выяснить, как часто за последнее время ремонтировались машины аналогичных моделей. Такая информация представлена в потребительских периодических бюллетенях, которые имеются в каждой библиотеке. Если некоторые из рассматриваемых вами моделей имеют показатель частоты ремонтов «выше среднего», то, скорее всего их следует исключить из дальнейшего рассмотрения. Процесс исключения должен циклически повторяться до тех пор, пока человек, которому предстоит принять решение, не останется с несколькими вариантами, из которых ему предстоит сделать окончательный выбор. Наконец, для того чтобы завершить процесс, на первый план выступают мелкие и незначительные показатели — например, «мне надоело искать», или «хочу купить вот эту», или «дилер обещал бесплатно включить в покупку вот этот пушистый кубик и я повешу его под зеркало заднего вида», или «я уже сегодня поеду домой на новой машине». Использование мелких и нелогичных поводов для окончательного принятия решения является проявлением легкомыслия, о котором мы уже беседовали выше в этой главе. Большинство потребителей не понимает, что иногда такая мелочь, как пушистый кубик, способна свести на нет тщательно спланированный процесс принятия благоразумного решения.

Метод исключения может использоваться в различных ситуациях. Например, можно рассматривать политических кандидатов как варианты выбора, различающиеся по нескольким критериям. Если вы решаете, что для вас важна сильная система обороны, снижение налогов и обязательная школьная молитва, то вы можете расположить кандидатов в соответствии с этими показателями и исключить тех из них, которые не разделяют ваших взглядов. Если же ни один из кандидатов не удовлетворяет всем требованиям, то вам предстоит решить, какие именно показатели являются для вас наиболее важными.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

psy.wikireading.ru

Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Как решить систему линейных уравнений? Далее полезно изучить урок Правило Крамера. Матричный метод.

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Метод  Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случаеприведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статьяНесовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы: . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. 

 В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ: 

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:  Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат: 

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ: 

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:  (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ: .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения. 

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход: 

Ответ: .

Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход: 

Ответ: 

Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.  К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на  –5.

Обратный ход:

Ответ: 

\

studfiles.net

Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.

Идея метода основана на исключении переменных до тех пор, пока не останется только одна переменная в левой части одного уравнения. Затем это уравнение решается относительно этой единственной переменной, и полученное значение подставляется в предыдущее уравнение для получения остающихся переменных. Очевидно что предложенный алгоритм работает, если а_ii≠0.

(6)

(7)

Второе уравнение системы (7) получено умножением первого уравнения этой системы на коэффициент −a₂₁/a₁₁ и сложением со вторым уравнением системы (6). Третье уравнение — путем умножения первого уравнения этой системы на коэффициент−a₃₁/a₁₁ и сложением с третьим уравнением системы (6).

(8)

Третье уравнение системы (8) получено умножением второго уравнения системы (7) на коэффициент −a₃₂/a₂₂ и сложением с третьим уравнением системы (6).

Описанные этапы приводят к уравнению вида:

Ux=Mb,

где U— верхняя треугольная матрица. Диагональные элементы матрицы называются ведущими. K-ый ведущий элемент является коэффициентом при к-ой переменной в к-ом уравнении на к-ом шаге исключения.

Интуитивно можно утверждать, что к-ый элемент не должен быть слишком малым, иначе при делении будут получаться очень большие числа с большими абсолютными погрешностями. В результате этого решение может сильно исказиться.

Для того чтобы этого избежать применяются:

1. Масштабирование коэффициентов. Подход заключается в «отбрасывании» порядков при коэффициентах уравнений.

2. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Отличие его от выше описанной схемы состоит в том что на к-ом шаге в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части к-ого столбца. Строка, содержащая этот элемент переставляется с к-ой строкой. Так же переставляются элементы правой части.

Гауссово исключение с выбором ведущих элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти определяетсячислом обусловленности.

Дополнительная информация приведена в Приложении 2.

Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)

Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений могут быть рассмотрены как специальные случаи итерационного алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим идею на примере уравнения с одним неизвестным

ƒ(х)=0. (9)

Алгоритм неподвижной точки требует специальной формы записи

x=F(x) (10)

Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к тождеству. Преобразуем уравнение (10) к виду

Y=x Y= F(x). (11)

Тогда геометрическая интерпретация алгоритма будет выглядеть следующим образом (см. рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация алгоритма неподвижной точки.

Предполагаем, что мы начинаем итерационную процедуру выбрав х=х₀, в результате получаемх₁. Если|x*-x₁|<|x*-x₀|,то выбор начального приближениях₁ лучше, чем х₀.В качестве начального приближения выбираемх₁ и так далее пока

|x_к+1—x_к|<ε.(12)

В общем случае метод описывается рекурсивной формулой

x_к+1=F(x_к) (13)

Критерий, гарантирующий сходимость, определяется следующим образом (принцип сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного пространстваRⁿвRⁿ, т.е. константаL<1, такая что

|| F(y)-F(x)||<||y—x|| , х,у Є Rⁿ , (14)

то F(y) имеет единственную неподвижную точку.

Последовательные итерации приводят к этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может быть достаточно медленной.

Методы неподвижной точки требуют, чтобы исходные уравнения … записывались в стандартной форме, где

, (15)

где — матричная неособенная функция от.

Ясно, что может быть случайной функцией. Различные выборыведут к различным характеристикам сходимости. Большинство итерационных методов решения систем нелинейных уравнений является специальными случаями уравнения (15).

Например, , где— матрица Якоби.

Подставляя в формулу (15), получим

. (16)

То есть приходим к методу Ньютона — Рафсона.

Метод Ньютона применяется на практике в большинстве случаев, поэтому остановимся на нем подробнее.

Известно, что всякую функцию в окрестности решения можно разложить в ряд Тейлора

(17)

При этом в окрестности решения можно ограничиться разложением с точностью до первого порядка малости. В методе Ньютона можно ввести преобразование, которое позволит сохранить невязку, если она мала, и уменьшить её, если она велика. Для метода Ньютона оправдывается теорема, если

,

=0

и вторая производная

непрерывна, то существует открытый интервал , содержащийв решении, такой что, если, то для метода Ньютонасходится к решению, т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость к решению при хорошем приближении.

Погрешность решения

. (18)

Нетрудно видеть, что

. (19)

Если необходимо определить погрешность решения и сходимость, то нужно учесть второй порядок.

Об итерационном процессе, для которого ошибка удовлетворяет соотношению

. (20)

говорят, что он имеет сходимость порядка p, то есть метод Ньютона имеет квадратичную сходимость. Например, наk—ой итерации погрешность решения:

,,,.

То есть, достаточно шести итераций для того, чтобы погрешность стала очень маленькой.

Трудность применения метода Ньютона заключается в выборе начального приближения, которое находилось бы внутри интервала . Есливзят вне интервала (разложение в ряд Тейлора в окрестности решения ), то нуль не будет найден. Вследствие этого методу Ньютона часто предшествует какой-либо глобально сходящийся алгоритм (например, метод деления отрезка пополам). То есть метод Ньютона является завершающей процедурой более медленных, но надежных начальных алгоритмов.

Локальная методическая погрешность

.

Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу последовательной верхней релаксации. Перечисленные методы относятся к релаксационным.

studfiles.net

Метод последовательного исключения неизвестных. Метод Гаусса.

Идея метода основана на исключении переменных до тех пор, пока не останется только одна переменная в левой части одного уравнения. Затем это уравнение решается относительно этой единственной переменной, и полученное значение подставляется в предыдущее уравнение для получения остающихся переменных. Очевидно что предложенный алгоритм работает, если а_ii≠0.

(6)

(7)

Второе уравнение системы (7) получено умножением первого уравнения этой системы на коэффициент −a₂₁/a₁₁ и сложением со вторым уравнением системы (6). Третье уравнение — путем умножения первого уравнения этой системы на коэффициент−a₃₁/a₁₁ и сложением с третьим уравнением системы (6).

(8)

Третье уравнение системы (8) получено умножением второго уравнения системы (7) на коэффициент −a₃₂/a₂₂ и сложением с третьим уравнением системы (6).

Описанные этапы приводят к уравнению вида:

Ux=Mb,

где U— верхняя треугольная матрица. Диагональные элементы матрицы называются ведущими. K-ый ведущий элемент является коэффициентом при к-ой переменной в к-ом уравнении на к-ом шаге исключения.

Интуитивно можно утверждать, что к-ый элемент не должен быть слишком малым, иначе при делении будут получаться очень большие числа с большими абсолютными погрешностями. В результате этого решение может сильно исказиться.

Для того чтобы этого избежать применяются:

1. Масштабирование коэффициентов. Подход заключается в «отбрасывании» порядков при коэффициентах уравнений.

2. Метод Гаусса с выбором ведущего элемента. Отличие его от выше описанной схемы состоит в том что на к-ом шаге в качестве ведущего элемента берется наибольший по абсолютной величине элемент в неприведенной части к-ого столбца. Строка, содержащая этот элемент переставляется с к-ой строкой. Так же переставляются элементы правой части.

Гауссово исключение с выбором ведущих элементов гарантированно дает малые невязки. Связь между величинойошибки и невязкиотчасти определяетсячислом обусловленности.

Дополнительная информация приведена в Приложении 2.

Методы решения моделей по постоянному току. Линейный и нелинейный случаи (итерационные методы решения)

Идея итерации с неподвижной точкой.Большинство итерационных методов решения систем линейных и нелинейных уравнений могут быть рассмотрены как специальные случаи итерационного алгоритма с неподвижной точкой. Рассмотрим идею на примере уравнения с одним неизвестным

ƒ(х)=0. (9)

Алгоритм неподвижной точки требует специальной формы записи

x=F(x) (10)

Целью алгоритма является нахождение x=x*, которое сводит уравнение (10) к тождеству. Преобразуем уравнение (10) к виду

Y=x Y= F(x). (11)

Тогда геометрическая интерпретация алгоритма будет выглядеть следующим образом (см. рис. 3)

Рис. 3. Геометрическая интерпретация алгоритма неподвижной точки.

Предполагаем, что мы начинаем итерационную процедуру выбрав х=х₀, в результате получаемх₁. Если|x*-x₁|<|x*-x₀|,то выбор начального приближениях₁ лучше, чем х₀.В качестве начального приближения выбираемх₁ и так далее пока

|x_к+1—x_к|<ε.(12)

В общем случае метод описывается рекурсивной формулой

x_к+1=F(x_к) (13)

Критерий, гарантирующий сходимость, определяется следующим образом (принцип сжатых отображений): если F(x)есть сжатиеn-мерного пространстваRⁿвRⁿ, т.е. константаL<1, такая что

|| F(y)-F(x)||<||y—x|| , х,у Є Rⁿ , (14)

то F(y) имеет единственную неподвижную точку.

Последовательные итерации приводят к этой неподвижной точке. Если Lблизка к единице, то сходимость может быть достаточно медленной.

Методы неподвижной точки требуют, чтобы исходные уравнения … записывались в стандартной форме, где

, (15)

где — матричная неособенная функция от.

Ясно, что может быть случайной функцией. Различные выборыведут к различным характеристикам сходимости. Большинство итерационных методов решения систем нелинейных уравнений является специальными случаями уравнения (15).

Например, , где— матрица Якоби.

Подставляя в формулу (15), получим

. (16)

То есть приходим к методу Ньютона — Рафсона.

Метод Ньютона применяется на практике в большинстве случаев, поэтому остановимся на нем подробнее.

Известно, что всякую функцию в окрестности решения можно разложить в ряд Тейлора

(17)

При этом в окрестности решения можно ограничиться разложением с точностью до первого порядка малости. В методе Ньютона можно ввести преобразование, которое позволит сохранить невязку, если она мала, и уменьшить её, если она велика. Для метода Ньютона оправдывается теорема, если

,

=0

и вторая производная

непрерывна, то существует открытый интервал , содержащийв решении, такой что, если, то для метода Ньютонасходится к решению, т.е. метод Ньютона гарантирует сходимость к решению при хорошем приближении.

Погрешность решения

. (18)

Нетрудно видеть, что

. (19)

Если необходимо определить погрешность решения и сходимость, то нужно учесть второй порядок.

Об итерационном процессе, для которого ошибка удовлетворяет соотношению

. (20)

говорят, что он имеет сходимость порядка p, то есть метод Ньютона имеет квадратичную сходимость. Например, наk—ой итерации погрешность решения:

,,,.

То есть, достаточно шести итераций для того, чтобы погрешность стала очень маленькой.

Трудность применения метода Ньютона заключается в выборе начального приближения, которое находилось бы внутри интервала . Есливзят вне интервала (разложение в ряд Тейлора в окрестности решения ), то нуль не будет найден. Вследствие этого методу Ньютона часто предшествует какой-либо глобально сходящийся алгоритм (например, метод деления отрезка пополам). То есть метод Ньютона является завершающей процедурой более медленных, но надежных начальных алгоритмов.

Локальная методическая погрешность

.

Различные подходы к выбору матрицы (помимо метода Ньютона) приводят к методам Якоби, Гаусса–Зейделя, методу последовательной верхней релаксации. Перечисленные методы относятся к релаксационным.

studfiles.net

метод исключения — это… Что такое метод исключения?



метод исключения

method of exclusion

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• метод инфильтрации
• метод исправительного цементирования

Смотреть что такое «метод исключения» в других словарях:

• метод стандартизации в статистике — метод исключения влияния неоднородности состава групп на результаты их сравнения путем расчета условных стандартизованных показателей …   Большой медицинский словарь

• Метод Квайна — Метод Куайна способ представления функции в ДНФ или КНФ с минимальным количеством членов и минимальным набором переменных.[1][2][3] Преобразование функции можно разделить на два этапа: на первом этапе осуществляется переход от канонической формы… …   Википедия

• метод упорядоченного исключения — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN ordered elimination technique …   Справочник технического переводчика

• метод упорядоченного исключения (при обработке матриц) — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN ordered elimination method …   Справочник технического переводчика

• МЕТОД — (лат. methōdus < греч. méthodos путь (ис)следования, способ) совокупность относительно однородных приемов, операций практического или теоретического освоения действительности, подчиненных решению конкретной задачи. В педагогике разработка М.… …   Российская энциклопедия по охране труда

• Исключения — Обработка исключительных ситуаций (англ. exception handling)  механизм языков программирования, предназначенный для описания реакции программы на ошибки времени выполнения и другие возможные проблемы (исключения), которые могут возникнуть при… …   Википедия

• Метод индукции — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

• ИСКЛЮЧЕНИЯ ТЕОРИЯ — теория исключения неизвестных из системы алгебраич. уравнений. Более точно, пусть имеется система уравнений где fi многочлены с коэффициентами из заданного поля Р. Задача исключения неизвестных х 1 ,…, х k из системы (1) (неоднородная задача… …   Математическая энциклопедия

• Исключения метод — (лог.) один из видов логического доказательства; состоит в перечислении всех частных случаев какого либо общего положения, за исключением одного, и в доказательстве неприменимости их к требуемому выводу; в результате получается уверенность, что… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Метод Гаусса — У этого термина существуют и другие значения, см. Метод Гаусса (оптимизация). Метод Гаусса[1]  классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью… …   Википедия

• МЕТОД ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК — специфич. социологич. метод получения информации об объекте с помощью специалистов экспертов в определенной области. Экспертные оценки широко используются в прогнозировании, при определении целей соц. развития или принятии плановых решений,… …   Российская социологическая энциклопедия

Книги

• Единая картина мира. Системно-структурный метод, А. М. Андреюшкин. Мир не прост, хотя в своей целостности един. Однако, познавая его все шире и глубже, мы постоянно сталкиваемся с все возрастающим количеством новых проблем. Решив одни, возникают другие, не… Подробнее  Купить за 250 руб электронная книга
• Метод исключения, Груздов А.. Сотрудники Управления национальной стратегической безопасности России «Вектор-100», капитан Мартынов и Макс, под видом крупных российских бизнесменов отправляются во Францию, где должна… Подробнее  Купить за 236 руб
• Метод исключения, Аркадий Груздов, Елена Конышева. Сотрудники Управления национальной стратегической безопасности России Вектор-100, капитан Мартынов и Макс, под видом крупных российских бизнесменов отправляютсяво Францию, где должна… Подробнее  Купить за 220 грн (только Украина)

Другие книги по запросу «метод исключения» >>

dic.academic.ru