Самое конечное число: Какое число самое большое?

Какое число самое большое? | Публикации

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела, а значит, теоретически запись числа на бумаге или экране компьютера может состоять из бесконечно долгого ряда цифр. Однако среди чисел, имеющих собственное имя, а таковых, как ни странно, не так уж много, есть свой рекордсмен.

Это буддийское число асанкхейя, которым исчисляется количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны. Дословно оно переводится как неисчислимое, однако имеет определенное значение, равное 10¹⁴⁰ (то есть единица со 140 нулями). Правда, в последние годы на роль рекорсдмена претендует и число стасплекс (здесь подробнее ), однако пока (2008 год) оно официально не зарегистрировано.

На втором месте стоит число гугол (10¹⁰⁰ — единица и сто нулей), которое в 1938 году решил ввести в обиход американский математик Эдвард Каснер, а автором непереводимого названия стал 9-летний племянник ученого. (Подробнее об этом и других больших числах — в статье «У больших чисел громкие имена «)

Интересно, что если всем остальным числам с «именами» можно подобрать соответствующее число объектов (например, количество звезд в видимой части Вселенной оценивается в 70 секстильонов — 7 10²² , а количество атомов, из которых состоит земной шар имеет порядок додекальонов), то гугол и тем более асанкхейя абсолютно «виртуальны». Дело в том, что число электронов во Вселенной (а большего числа реальных объектов просто не существует), согласно некоторым теориям, не превышает 10⁸⁷ , что в 10 триллионов раз меньше гугола.

10¹ ДЕСЯТЬ 10
10² СТО 100
10³ ТЫСЯЧА 1 000
10⁶ МИЛЛИОН 1 000 000
10⁹ МИЛЛИАРД 1 000 000 000
10¹² ТРИЛЛИОН 1 000 000 000 000
10¹⁵ КВАДРИЛЬОН 1 000 000 000 000 000
10¹⁸ КВИНТИЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000
10²¹ СЕКСТИЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000
10²⁴ СЕПТИЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000
10²⁷ ОКТАЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10³⁰ НОНАЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10³³ ДЕКАЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10³⁶ ЭНДЕКАЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10³⁹ ДОДЕКАЛЬОН 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
.80

Десять в восьмидесятой степени — 1 с 80 нулями — это довольно массивное число, обозначающее примерное число элементарных частиц в известной вселенной, и, говоря элементарные частицы, мы не имеем в виду микроскопические частицы — мы говорим о куда меньших вещах вроде кварков и лептонов — о субатомных частицах. Это число в США и современной Великобритании называют «сто квинквавигинтиллионов». Вроде бы, несложно понять, что это число обозначает количество мельчайших частиц в нашей Вселенной, однако это самое маленькое и простое число в нашем списке.

Один гугол

Слово гугол, несколько измененное, стало часто используемым в современности, благодаря популярной поисковой системе. У этого числа есть интересная история — достаточно просто погуглить. Термин был придуман Милтоном Сироттой в 1938 году, когда ему было 9 лет. И хотя это относительно абстрактное число, и его существование объясняется необходимостью технического существования, ему все-таки нашли применение.

Алексис Лемер поставил мировой рекорд, рассчитав корень тринадцати из стозначного числа.43,112,609 – 1

Гуголплекс

Вы наверняка слышали это слово, хотя бы в фильме «Назад в будущее», когда доктор Эммет Браун бормотал «она одна на миллион, одна на миллиард, одна на гуголплекс». Что такое гуголплекс? Помните длину гугола? Единица и сто нулей. А гуголплекс — это десять в степени гугол. Это больше, чем число всех частиц в известной нам части вселенной.

Вы можете отметить, что можно возводить десять в степень гуголплекс и будет еще больше, и так далее, и окажетесь совершенно правы.

Числа Скьюза

Число Скьюза — это верхний предел для математической задачи π(x) > Li(x), хоть и просто выглядящей, но крайне сложной на самом деле. По существу, число Скьюза доказывает, что число x существует и нарушает это правило, если предположить, что гипотеза Римана верна, а число x меньше, чем 10^10^10^36, первое число Скьюза.n3. Лучший способ его представить — разложить по полочкам. Первый слой — это 3↑↑↑↑3, что уже невероятно много. Следующий слой — это множество стрелок между тройками. Возьмите эти стрелки и поместите между следующими тройками. Это умножается в 64 раза. Даже сам Грэм не знает первое число, но последние десять вот: 2464195387. Вся наблюдаемая вселенная слишком мала, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма.

∞. Бесконечность

Это число известно всем и каждому, оно часто используется для преувеличений — как какой-нибудь «многоллион». Однако это число намного сложнее, чем большинство может представить, и если вы могли представить числа, идущие до этого пункта, именно это число очень странное и противоречивое. Согласно правилам бесконечности, есть бесконечное число нечетных и четных чисел в бесконечности, однако только половина от всех чисел может быть четной. Бесконечность плюс один равна бесконечности, бесконечность минус один равна бесконечности, бесконечность плюс бесконечность равна бесконечности, деленная пополам — тоже бесконечность, бесконечность минус бесконечность — никто не знает, бесконечность, деленная на бесконечность, будет, скорее всего, 1.80 субатомных частиц, но это только известная вселенная. Некоторые предполагают, что вселенная бесконечна. Если это так, то математически достоверно, что есть другая Земля где-то там, где каждый атом складывается таким же образом, как и мы, и наша Земля. Шанс того, что копия Земли существует, невероятно мал, но в бесконечной вселенной это не только может произойти, но и бесконечно много раз.

В бесконечность верят не все. Израильский профессор математики Дорон Зильбергер утверждает, что по его мнению, числа не будут продолжаться вечно, и найдется настолько большое число, что когда вы добавите к нему единицу, вы придете к нулю. И хотя это число едва ли когда будет обнаружено и едва ли кто сможет его вообразить, бесконечность является важной частью математической философии.

∞ + 1

Простите, но этот пункт здесь очень важен.

Самое большое число в мире: как называется

Считается, что концепция чисел впервые возникла, когда доисторические люди начали использовать свои пальцы для подсчета чего-либо. С тех пор человечество прошло долгий путь. Теперь мы используем калькуляторы и компьютеры для подсчета самых больших чисел. И даже появились названия для чисел, которые настолько велики, что их с трудом можно представить.

Бесконечность счетных чисел

Казалось бы, ответ на вопрос о том, каково самое большое число в математике — очень прост. Бесконечность, верно? Но это не совсем правильно. Ведь бесконечность — вовсе не число, а концепция. Идея.

Бесконечность (infinitum) — это понятие, которое в переводе с латинского означает «без границ». Определение бесконечности в математике гласит, что независимо от того, насколько велико число, вы всегда можете добавить к нему 1, и оно станет больше.

Поэтому, строго говоря, не существует такого понятия, как самое большое число в мире. Можно лишь назвать наибольшее число, которому дали конкретное название.

Вот некоторые наиболее известные названия больших чисел:

Число нулей	Название	Название на английском
3	тясяча	thousand
6	миллион	million
9	миллиард (биллион)	billion
12	триллион	trillion
15	квадриллион	quadrillion
18	квинтиллион	quintillion
21	секстиллион	sextillion
24	септиллион	septillion
27	октиллион	octillion
30	нониллион	nonillion
33	дециллион	decillion
36	ундециллион	undecillion
39	дуодециллион	duodecillion
42	тредециллион	tredecillion
45	кватуордециллион	quattuordecillion
48	квиндециллион	quindecillion
51	сексдециллион	sexdecillion
54	септендециллион	septendecillion
57	октодециллион	octodecillion
60	новемдециллион	novemdecillion
63	вигинтиллион	vigintillion
66	унвигинтиллион	unvigintillion
69	дуовигинтиллион	duovigintillion
72	тревигинтиллион	trevigintillion
75	кватуорвигинтиллион	quattuorvigintillion
78	квинвигинтиллион	quinvigintillion
81	сексвигинтиллион	sexvigintillion
84	септенвигинтиллион	septenvigintillion
87	октовигинтиллион	octovigintillion
90	новемвигинтиллион	novemvigintillion
93	тригинтиллион	trigintillion
96	унтригинтиллион	untrigintillion
99	дуотригинтиллион	duotrigintillion
102	третригинтиллион	trestrigintillion
105	кватортригинтиллион	quattuortrigintillion
108	квинтригинтиллион	quintrigintillion
111	секстригинтиллион	sextrigintillion
114	септентригинтиллион	septentrigintillion
117	октотригинтиллион	octotrigintillion
120	новемтригинтиллион	novemtrigintillion
123	квадрагинтиллион	quadragintillion
126	унквадрагинтиллион	unquadragintillion
129	дуоквадрагинтиллион	duoquadragintillion
132	треквадрагинтиллион	trequadragintillion
135	кваторквадрагинтиллион	quattuorquadragintillion
138	квинквадрагинтиллион	quinquadragintillion
141	сексквадрагинтиллион	sexquadragintillion
144	септенквадрагинтиллион	septenquadragintillion
147	октоквадрагинтиллион	octoquadragintillion
150	новемквадрагинтиллион	novemquadragintillion
153	квинквагинтиллион	quinquagintillion
156	унквинкагинтиллион	unquinquagintillion
159	дуоквинкагинтиллион	duoquinquagintillion
162	треквинкагинтиллион	trequinquagintillion
165	кваторквинкагинтиллион	quattuorquinquagintillion
168	квинквинкагинтиллион	quinquinquagintillion
171	сексквинкагинтиллион	sexquinquagintillion
174	септенквинкагинтиллион	septenquinquagintillion
177	октоквинкагинтиллион	octoquinquagintillion
180	новемквинкагинтиллион	novemquinquagintillion
183	сексагинтиллион	sexagintillion
186	унсексагинтиллион	unsexagintillion
189	дуосексагинтиллион	duosexagintillion
192	тресексагинтиллион	tresexagintillion
195	кваторсексагинтиллион	quattuorsexagintillion
198	квинсексагинтиллион	quinsexagintillion
201	секссексагинтиллион	sexsexagintillion
204	септенсексагинтиллион	septensexagintillion
207	октосексагинтиллион	octosexagintillion
210	новемсексагинтиллион	novemsexagintillion
213	септагинтиллион	septuagintillion
216	унсептагинтиллион	unseptuagintillion
219	дуосептагинтиллион	duoseptuagintillion
222	тресептагинтиллион	treseptuagintillion
225	кваторсептагинтиллион	quattuorseptuagintillion
228	квинсептагинтиллион	quinseptuagintillion
231	секссептагинтиллион	sexseptuagintillion
234	септенсептагинтиллион	septenseptuagintillion
237	октосептагинтиллион	octoseptuagintillion
240	новемсептагинтиллион	novemseptuagintillion
243	октогинтиллион	octogintillion
246	уноктогинтиллион	unoctogintillion
249	дуооктогинтиллион	duooctogintillion
252	треоктогинтиллион	treoctogintillion
255	кватороктогинтиллион	quattuoroctogintillion
258	квиноктогинтиллион	quinoctogintillion
261	сексоктогинтиллион	sexoctogintillion
264	септоктогинтиллион	septoctogintillion
267	октооктогинтиллион	octooctogintillion
270	новемоктогинтиллион	novemoctogintillion
273	нонагинтиллион	nonagintillion
276	уннонагинтиллион	unnonagintillion
279	дуононагинтиллион	duononagintillion
282	тренонагинтиллион	trenonagintillion
285	кваторнонагинтиллион	quattuornonagintillion
288	квиннонагинтиллион	quinnonagintillion
291	секснонагинтиллион	sexnonagintillion
294	септеннонагинтиллион	septennonagintillion
297	октононагинтиллион	octononagintillion
300	новемнонагинтиллион	novemnonagintillion
303	центиллион	centillion

Как называется самое большое простое число

Простое число — то, которое делится только на себя и на единицу. В конце 2018 года американец Патрик Лярош представил научному миру самое большое простое число.

Длина его — 24 862 048 символов. Для сравнения: в эпохальном произведении Л.Н. Толстого «Война и мир» около 6-7 миллионов символов, если учитывать знаки препинания и пробелы.

Это число можно записать следующим образом: 2^82589933-1
А читается оно так: два в степени 82589933 минус один.
Существует целый онлайн-проект GIMPS, нацеленный как раз на поиск самых больших простых чисел. В нем принимают участие математики из разных стран. Поэтому новые рекордсмены появляются часто. Работают ученые, что называется, не за страх, а за деньги. Ведь тому, кто откроет следующее наибольшее простое число Мерсенна достанется 3000 долларов.

Какое самое большое число в мире

В 1980 году в Книгу рекордов Гиннеса вошло число Грэма (оно же G64 или G), названное в честь американского математика Рональда Грэма. Оно является наибольшим числом, которое когда-либо использовалось в важном математическом доказательстве.

Речь идет про теорию Франка Рамсея.

Кратко об этой теории: представим себе N-мерный куб, его вершины в случайном порядке соединены красными или синими отрезками-линиями. А наша задача — понять, до какого значения N возможно (если по-разному закрашивать ребра куба), избежать ситуации, при которой одна плоскость в кубе будет окрашена одним цветом. То есть у нас не должен получиться одноцветный «конвертик».

Математики позакрашивали кубик и так и эдак, получилось, что до шестимерного куба можно исхитриться и сделать, чтобы линии одного цвета, соединяющие четыре вершины, не лежали в одной плоскости. А вот с семимерным, как выяснили Грэм и Ротшильд, такой фокус уже не провернешь. И с восьмимерным. И… «и так далее», которое, впрочем, не бесконечно, а заканчивается фантастически гигантским числом. Вот его-то и именуют числом Грэма. Кстати, в настоящее время решение Грэма и Ротшильда устарело. Математики выяснили, что 6-7-8-9-10-11-12-мерные кубы все же можно покрасить без «конвертов». Но где-то в промежутке между 13 и числом Грэма гарантированно есть число выше которого «конверты» в любом случае будут.

Число Грэма получило всемирное признание в 1977 году, когда известный популяризатор науки Мартин Гарднер написал об этом в Scientific American.

И хотя с тех пор в математической науке были и другие кандидаты на титул самого большого числа, «детище» Грэма является самым распиаренным и общеизвестным. И если вы слышали про «гугольное семейство»:

гугол — 10¹⁰⁰;
Или: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
гуголплекс — 10^гугол,

то знайте, что этими числами в математике лишь «разминаются», а число Грэма в немыслимое количество раз больше, чем они. И даже больше, чем число Скьюза, находящееся между 10¹⁹^{и 1,3971672·10³¹⁶ и приблизительно равное e^{727,951336108}.}

Любопытно, что придумав гугол американский математик Эдвард Казнер хотел показать студентам разницу между невероятно большим числом и бесконечностью. Тогда число Грэма может просто «взорвать мозг».

Возможно ли представить и записать число за гранью понимания

Математики не смогут назвать вам точное количество цифр в числе Грэма, не говоря уже о том, чтобы досчитать до него. Известны лишь последние 50 цифр самого большого числа в мире — это …03222348723967018485186439059104575627262464195387.

А вот цифры, с которых начинается G64 неизвестны, и вряд ли когда-либо будут.

Давайте сравним трех монстров: гугол, гуголплекс и число Грэма.

Гугол — это количество песчинок, которые могут поместиться во вселенной, умноженное на 10 миллиардов. Итак, представьте себе вселенную, заполненную мелкими песчинками — на десятки миллиардов световых лет над Землей, под ней, перед ней, позади нее — бесконечный песок.

Теперь представьте, что в какой-то момент вы берете одну песчинку, чтобы рассмотреть ее под мощным микроскопом. И видите, что на самом деле это не единственное зерно, а 10 миллиардов микроскопических зерен, а все вместе они размером с песчинку. Если бы это было так для каждой отдельной песчинки в этой гипотетической вселенной, то общее количество этих микроскопических зерен было бы гуголом.

Для количественной оценки гуголплекса астроном и астрофизик Карл Саган привел пример заполнения всего объема наблюдаемой вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно 1,5 микрометра. Исходя из этого, общее количество различных комбинаций, в которых эти частицы могут быть расположены, будет равно примерно одному гуголплексу.
А теперь представим, что гуголплекс — это даже не песчинка, а крохотная точка, которую можно рассмотреть лишь в самый мощный микроскоп. И у нас вся вселенная заполнена такими крохотными точками. Так вот, даже это не идет ни в какое сравнение с числом Грэма. Но что, если мы хотим использовать все пространство наблюдаемой вселенной для его записи (предположим, что запись каждой цифры занимает как минимум объём Планка)? Увы, у нас это не выйдет! Но всегда можно пойти другим путем.

Как записать G64 с помощью метода Кнута

В 1976 году американский ученый Дональд Кнут предложил понятие сверхстепеней или нотацию Кнута. Это метод, позволяющий при помощи стрелочек, направленных вверх, записывать очень большие числа. Возведение в степень обозначается одной стрелкой вверх: ↑.

Вот как выглядит эта нотация: a ↑ b = ab = a × a × a × …, и так b раз.

Например 3↑3 = 3³.
Гугол записывается так 10↑10↑2.
А гуголплекс — 10↑10↑10↑2

Важной особенностью стрелок вверх является то, что они растут очень быстро. Экспонентация растет гораздо быстрее, чем умножение. 2 × 10 — это всего лишь 20, но 2↑10 = 1024. Таким же образом, каждый новый уровень стрелок растет намного быстрее, чем предыдущий уровень.

Если мысленно представить себе степенную башню из троек 3↑↑↑4 то получится конструкция, размером от Земли до Марса. А ведь мы еще даже не дошли до «нижней ступеньки», ведущей нас к числу Грэма.

Мы можем описать число Грэма огромным набором этих стрелок вверх.

Проще всего думать об этом как об итерационном процессе. Мы начинаем снизу с g 1 = 3 ↑↑↑↑ 3, а затем создаем вторую строку (назовем ее g 2) с g 1 стрелками между тройками.

Тогда g 3 — это две тройки, разделенные g 2 стрелками вверх и так далее, пока g 64 с g 63 стрелками между тройками не будет числом Грэма.

Если выбрать продолжительность жизни, равную числу Грэма вместо бессмертия, то результат будет практически одинаков. Даже если предположить, что условия во Вселенной, в Солнечной системе и на Земле вечно останутся неизменными, человеческий мозг никак не мог бы выдержать столь длинный промежуток времени без пагубных изменений.

Самое большое число

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества.

Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”.

Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 10⁸. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 10¹⁶), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 10⁸, умноженного само на себя 10⁸ раз (или 108 в степени 10⁸). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10^{800 000 000} он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 10^{80 000 000 000 000 000}, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.

Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 10⁶³ песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 10⁹⁵ песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.

Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века “Лалитавистара” Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с “коти” – 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются “аюта”, 100 аюта называются “ниюта”, и так далее, до числа “таллакшана”, представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и бо́льшие числа, такие как “дхваджагравати”, равное 10⁹⁹, вплоть до гиганта “уттарапараманураджаправеша” – 10⁴²¹.

Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В “Аватамсака сутре” описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 10¹⁰, после чего возводит его в квадрат, получая 10²⁰, снова возводит в квадрат, получая 10⁴⁰, и продолжает дальше, последовательно переходя к 10⁸⁰, 10¹⁶⁰, 10³²⁰, пока не достигает числа 10^{101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240}.122) – это то же, что и 10^{10×(2 в 122-й степени)}). Рядом с “невыразимым” самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 10^{80 000 000 000 000 000}, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.

И Архимеду, и авторам буддийских сутр большие числа нужны были для того, чтобы дать представление о громадности вселенной в их понимании. Буддисты, кроме того, считали, что, дав чему-либо название, человек приобретает над этим определенную власть. Но математиков, как правило, мало интересует бесцельное изобретение новых схем для наименования и обозначения все возрастающих больших чисел. Наша система, в которой для наименования больших чисел используются слова, заканчивающиеся на “-иллион”, восходит к французскому математику XV века Никола Шюке. В своем трактате Le Triparty en la Science des Nombres (“Наука о числах в трех частях”) он записал огромное число, разбил его на группы по шесть знаков в каждой и предложил назвать эти группы так:

…миллион, вторая отметка – биллион, третья отметка – триллион, четвертая – квадриллион, пятая – квииллион, шестая – сикслион, седьмая – септиллион, восьмая – оттиллион, девятая – нониллион, и далее так же поступать с другими числами столь долго, сколько будет угодно.

В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название “гугол” приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге “Математика и воображение” (Mathematics and the Imagination), созданной в соавторстве с Джеймсом Ньюменом. Помимо гугола юный Сиротта также предложил название “гуголплекс” для числа, записываемого как “единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь”. Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку “кто-то может устать раньше, кто-то позже, и не годится, чтобы Карнеру [чемпиона по боксу в тяжелом весе] считали более сильным математиком, чем доктора Эйнштейна, просто потому, что он выносливее физически”. Впрочем, слово “усталость” (и это еще мягко сказано) – довольно точное описание того, что ощутит человек, которому придет в голову написать число гуголплекс. Судите сами: согласно определению Казнера, гуголплекс – это 10^гугол, или единица с гуголом нулей. Число гугол нетрудно записать полностью:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Но гуголплекс неизмеримо больше. На всей планете не хватит бумаги, да что там бумаги на Земле, во всей видимой Вселенной не хватит вещества, чтобы записать все знаки гуголплекса, даже если изображать нули размером с протоны или электроны. Гуголплекс намного больше самого огромного из чисел, каким ученые древности дали названия, включая великанское “невыразимое”. И все же он не так велик, как число, которое получил в 1933 году математик из ЮАР Стэнли Скьюз, работая над проблемой в области простых чисел. Названное в честь этого ученого, число Скьюза представляет собой максимально возможное значение (верхний предел), которое получается при решении математической задачи, связанной с распределением простых чисел.1,1 лет, что превосходит и второе из чисел Скьюза. Что касается самого гуголплекса, Пейдж отметил, что тот приближенно равен количеству микросостояний в черной дыре, сравнимой по массе с галактикой Андромеды.

И “невыразимое”, и гуголплекс, и числа Скьюза титанически велики для постижения разумом. Но они и рядом не стояли с числом, названным в честь американского математика Рональда Грэма, впервые описавшего его в своей статье 1977 года. Так же как и числа Скьюза, число Грэма – результат работы над серьезной математической проблемой, на этот раз связанной с теорией Рамсея. Приближаться к числу Грэма нам придется постепенно, подобно альпинистам, покоряющим высочайшие вершины мира. Первым шагом будет знакомство с особым способом записи больших чисел, изобретенным американским ученым в области информатики Дональдом Кнутом и известным как стрелочная нотация. Она основана на том факте, что умножение всегда можно представить как многократное сложение, а возведение в степень – как многократное умножение.3 = 3²⁷, что равно 7 625 597 484 987.

Тетрацию можно представить и в виде степенной башни (кошмар любого наборщика). Если с числом a требуется произвести операцию тетрации порядка k, это записывается следующим образом:

Иначе говоря, число a возводится в степень, представленную башней высотой в k – 1 этаж.

Темп, с которым растет результат математического действия при добавлении новых стрелок, просто ошеломляет: если 3 × 3 = 9, то 3↑3 дает 27, а 3↑↑3 уже больше 7,6 триллиона (13-значное число). Результат тетрации числа 4 еще поразительнее: 4↑↑4 = 4↑4↑4↑4 = 4↑4↑256, что приблизительно равно 10↑10↑154 – то есть больше гуголплекса (10↑10↑100). Перевалить за это огромное число нам удалось с помощью всего-то одной четверки и нескольких простых значков.

Но раз мы сделали такой гигантский шаг, перейдя от простого возведения в степень к тетрации, то, наверное, если добавить еще одну стрелку, можно получить что-то еще более впечатляющее? Что ж, интуиция нас не обманывает. При повторной тетрации, называемой пентацией, результат вырастает так, что аж дух захватывает! Ничем не примечательная запись 3↑↑↑3 – это то же, что 3↑↑3↑↑3, что, в свою очередь, равно 3↑↑7 625 597 484 987, или 3↑3↑3↑3…↑3, – а это уже степенная башня высотой в 7 625 597 484 987 троек. Если башни в 4 этажа достаточно, чтобы получить число, превышающее гуголплекс, только представьте себе, что получится в этом случае. Это невообразимо большое число: человеческой жизни не хватит, чтобы записать его даже в виде степенной башни. В напечатанном виде такая башня дотянется до самого Солнца. Это число, известное как “тритри”, значительно больше любого из тех, что мы упоминали до сих пор; осмыслить его нам, простым смертным, почти невозможно. А ведь мы еще только начали. Тритри, при всей своей величине, – ничтожная песчинка рядом с величественным пиком, который представляет собой число Грэма. Добавив еще одну стрелку, получим 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑3↑↑↑3 = 3↑↑↑тритри.

Давайте разберемся, что это значит. В нагромождении степенных башен самая первая у нас 3; вторая – 3↑3↑3, или 7 625 597 484 987; третья – 3↑3↑3↑3…↑3 c 7 625 597 484 987 тройками, то есть тритри; четвертая – 3↑3↑3↑3…↑3, где тритри троек; и так далее. 3↑↑↑↑3 – это башня под номером тритри. Добавив к трем стрелкам еще одну, мы шагнули на гигантское расстояние, так далеко, что уму непостижимо. А пришли всего лишь к g₁ – самому первому из серии чисел g, необходимых для того, чтобы добраться до вершины, то есть до самого числа Грэма. После передышки в базовом лагере g₁ продолжаем подъем до следующего лагеря, g₂. Помните, что, добавляя в запись числа всего одну стрелку, мы каждый раз увеличиваем его на чудовищную величину. Теперь внимание! Число g₂ – это 3↑↑↑↑…↑3 с количеством стрелок, равным g₁. Даже робкая попытка осмыслить его масштаб, понять, насколько грандиозными могут быть числа, вызывает головокружение. Всего одна дополнительная стрелка увеличивает результат на феноменальную величину, а в числе g₂ таких стрелок g₁. В числе g₃, как вы уже наверняка догадались, g₂ стрелок, в числе g₄ – g₃ стрелок и так далее. А само число Грэма, G, – это g₆₄. В 1980 году оно было занесено в “Книгу рекордов Гиннесса” как самое большое число, когда-либо использованное в математическом доказательстве.

Математическую проблему, из которой родилось число Грэма, фантастически сложно решить, но довольно легко сформулировать. Связана она с многомерными кубами, то есть n-мерными гиперкубами. Представьте, что все вершины такого куба попарно соединены друг с другом отрезками, окрашенными либо в красный, либо в синий цвет. Грэм задался следующим вопросом: каково наименьшее значение n, при котором для любого варианта окрашивания найдутся четыре вершины, лежащие в одной плоскости и попарно соединенные отрезками одного цвета? Ему удалось доказать, что нижний предел для числа n – 6, а верхний – g₆₄. Этот колоссальный разрыв свидетельствует о сложности задачи. Грэм смог доказать, что значение n, удовлетворяющее ее условиям, существует, но для этого ему пришлось определить верхний предел n с помощью числа умопомрачительной величины. С тех пор математики сумели сократить разрыв до более скромного (по сравнению с первоначальным) диапазона значений n: от 13 до 9↑↑↑4.

Число Грэма, наряду с гуголом и гуголплексом, часто приводят в качестве примера очень большого числа, имея о нем, однако, весьма смутное понятие. Во-первых, это уже далеко не самое большое из описанных чисел. Во-вторых, если уж искать новые “рекордные” числа и способы их представления и описания, то брать за основу число Грэма и увеличивать его с помощью традиционных математических операций не имеет никакого смысла.

В последние годы возник целый раздел занимательной математики под названием “гугология”, посвященный исключительно расширению горизонтов больших чисел путем описания и наименования еще бо́льших экземпляров. В принципе, назвать число, большее любого другого, может кто угодно. Если я назову число Грэма, вы можете сказать “число Грэма плюс 1”, или “число Грэма в степени, равной числу Грэма”, или даже “g₆₄↑↑↑↑…↑g₆₄ c числом стрелок, равным g₆₄” (что примерно равно g₆₅). Но такое “надстраивание” за счет повторного использования одних и тех же математических действий не влечет за собой никаких коренных изменений: в результате все равно получится некая производная числа Грэма. Иначе говоря, придуманное вами число будет построено примерно таким же способом, как и само число Грэма, с помощью аналогичных приемов. Серьезные гугологи называют такую неэлегантную мешанину из уже существующих чисел и функций, никак не затрагивающую исходное большое число по сути, “салатом” и относятся к ней крайне неодобрительно. Число Грэма – это стрелочная нотация, доведенная до предела своих возможностей. В “салате” же к числу Грэма просто применяют какое-нибудь несущественное математическое действие. Такие безыскусные игры со скромным приращением готовых чисел не для гугологов; их интересует разработка принципиально новой системы, которую можно было бы расширить до таких масштабов, чтобы число Грэма показалось пренебрежимо малым. Одна такая бесконечно масштабируемая система уже существует. Она называется быстрорастущей иерархией, поскольку позволяет достичь феноменальных темпов роста. Что еще важнее, эта методика уже опробована математиками на практике и часто используется как эталон при разработке новых способов получения фантастически больших чисел.

Прежде чем говорить о быстрорастущей иерархии, нужно усвоить две вещи. Первое: она представляет собой ряд функций. Функция в математике – это просто соответствие, некое правило, превращающее одно значение, входное, в другое, выходное. Функцию можно представить себе как машинку, которая преобразует одни значения в другие, применяя к ним всегда единый набор действий, например, прибавляя тройку. Если обозначить входное значение буквой x, а функцию записать как f(x) (это произносится как “f от x”), то f(x) = x + 3.

Второе, что нужно знать о быстрорастущей иерархии: в качестве индекса функции (показывающего, сколько раз следует выполнить нужный набор действий) используются порядковые числа – ординалы. Ординалы указывают на положение того или иного объекта в списке или на порядок расположения элементов в ряду. Они могут быть конечными и бесконечными. С конечными порядковыми числами знакомы все: “пятый”, “восьмой”, “сто двадцать третий” и так далее. А вот бесконечные не на слуху, про них знают лишь те, кто интересуется математикой поглубже. Оказывается, и конечные, и бесконечные ординалы – чрезвычайно полезная штука, когда стоит задача добраться до сверхбольших (но все же конечных) чисел и описать их. Индексирование функций с помощью конечных ординалов позволяет дотянуться до вполне солидных больших чисел. Но когда к делу подключаются бесконечные ординалы, когда именно они начинают определять, сколько раз необходимо выполнить функцию, – вот тут быстрорастущая иерархия проявляет себя в полную силу.

С первой ступенькой иерархии все очень просто: это функция, которая всего-навсего прибавляет к числу единицу. Назовем такую начальную функцию f₀. Предположим, мы хотим пропустить через жернова нашей функции число n. Тогда f₀(n) = n + 1. Но такими крохотными шажками, прибавляя каждый раз по единице, мы не скоро доберемся до больших чисел, поэтому перейдем к функции f₁(n). Она берет предыдущую функцию и подставляет ее саму в себя n раз: другими словами, f₁(n) = f₀(f₀(… f₀(n))) = = n + 1 + 1 + 1 + … + 1, где в общей сложности n единиц, что дает в итоге 2n. И опять-таки не слишком впечатляет – такими темпами нам долго добираться до страны больших чисел. Но зато эта функция наглядно демонстрирует процесс, из которого быстрорастущая иерархия черпает свою невероятную мощь. И процесс тот – рекурсия.

Искусство, музыка, язык, вычислительные системы, математика – рекурсия встречается во всех этих областях; она многолика, но это всегда нечто, что возвращается к самому себе. Иногда в результате получается просто бесконечно повторяющаяся петля. Возьмите, к примеру, шуточную словарную статью: “Рекурсия. См. рекурсия”. Более детально проработана рекурсивная петля в литографии Маурица Эшера “Картинная галерея” (1956 года), на которой изображено здание городской галереи, в которой выставлена картина, изображающая здание галереи, в которой… и так далее. Классический пример рекурсии в технике – обратная связь, когда выходной сигнал системы подается на ее вход. С этой проблемой нередко приходится сталкиваться, например, рок-музыкантам, если микрофон на сцене расположен перед акустической системой, к которой он подключен. Звук, принимаемый микрофоном, усиливается и подается на динамик системы, откуда вновь поступает на микрофон, и так продолжается до тех пор, пока – довольно скоро – из-за усиления при каждом прохождении цикла звук не превратится в знакомый пронзительный свист. Рекурсия в математике работает примерно так же, только вместо электронной системы “микрофон – усилитель – динамик” здесь функция, которая обращается к самой себе, так что ее выходное значение подается опять на вход.

Итак, мы достигли ступеньки f₁(n) на лестнице быстрорастущей иерархии. Следующая ступенька, f₂(n), подставляет функцию f₁(n) саму в себя n раз. Ее можно записать как f₂(n) = f₁(f₁(… f₁(n))) = n × 2 × 2 × 2 × … × 2, где количество двоек равно n. Это то же самое, что n × 2n, где 2n – показательная функция. Если подставить вместо n, скажем, 100, то мы получим f2(100) = 100 × 2¹⁰⁰ = = 126 765 060 022 822 940 149 670 320 537 600, или приблизительно 127 миллиардов миллиардов триллионов. Будь это сумма на банковском счете, такое состояние даже Биллу Гейтсу могло бы только во сне присниться, а ведь она гораздо меньше, чем некоторые из известных чисел, что нам уже встречались, таких как гугол. Меньше она и суммы самого крупного в истории иска о компенсации ущерба. Иск на 2 ундециллиона (то есть два триллиона триллионов триллионов) долларов был подан 11 апреля 2014 года жителем Манхэттена Энтоном Пьюрисимой, утверждавшим, что в городском автобусе его покусала “больная бешенством” собака. В бессвязном исковом заявлении на 22 страницы, написанном от руки, к которому была приложена фотография несуразно огромной повязки на среднем пальце, Пьюрисима требовал от управления городского транспорта Нью-Йорка, аэропорта Ла-Гуардия, кафе Au Bon Pain (где его якобы регулярно обсчитывали при покупке кофе), университетского медицинского центра города Хобокена и сотен других организаций выплаты компенсации на общую сумму, превышающую всю денежную массу на планете. В мае 2017 года иск был отклонен “за недостаточностью правовых и фактических оснований”. Будем надеяться, что познания Пьюрисимы в математике не распространяются на быстрорастущую иерархию – иначе за этим иском могут последовать другие, на еще бо́льшие суммы (раньше он уже подавал в суд на несколько крупных банков, Международный музыкальный фонд Лан Лана и Китайскую Народную Республику).

Функция f₃(n) представляет собой n повторений функции f₂(n), а получающееся в результате число чуть превышает 2 в степени n в степени n в степени n… со степенной башней высотой в n этажей. Это этап двух стрелок, или тетрации, – операции, что мы встречали на подступах к числу Грэма. Дальше продолжаем в том же духе: f₄(n) – это три стрелки, f₅(n) – четыре стрелки и так далее; то есть каждое увеличение ординала на единицу равносильно добавлению очередной стрелки и еще одному шагу к количеству стрелок n – 1. Это дает уже реально большие числа – не только по повседневным меркам, но даже по меркам сутяжника Пьюрисимы. Однако, если добавлять всего по одной стрелке за раз, даже до числа Грэма не скоро доберешься, не говоря уже о других, гораздо более солидных экземплярах. Здесь нужно какое-то неожиданное решение. Чтобы получить действительно колоссальные конечные числа, нам придется прибегнуть к помощи чисел бесконечных.

Самая маленькая из бесконечностей – это алеф-ноль, бесконечность натуральных чисел. Меняться по величине, то есть по количеству того, что в нем содержится, алеф-ноль не может, зато может меняться по длине – в зависимости от того, как его содержимое организовано. Самая маленькая длина алеф-нуля обозначается бесконечным ординалом омега (ω). Следующая – ω + 1, за ней ω + 2, потом ω + 3 и так далее, без конца. Эти бесконечные ординалы – они называются счетными, потому что их можно расставить по порядку, пронумеровать, – служат нам своего рода трамплином для прыжка в мир самых больших из когда-либо описанных конечных чисел. Для начала нам нужно определить, что подразумевается под функцией f_ω(n), где в качестве индекса стоит наименьший из бесконечных ординалов. Просто отнять 1 и применить рекурсию, о которой мы говорили выше, здесь не получится, поскольку такого понятия, как ω – 1, не существует. Вместо этого мы определяем f_ω(n) как f_n(n). Заметьте, это не значит, что ω = n. Мы просто выражаем f_ω(n) через (конечные) ординалы, меньшие ω, чтобы привести функцию к виду, удобному для вычислений. Вы, возможно, возразите и скажете, что с таким же успехом можно просто написать f_n(n) вместо f_ω(n) и получить тот же результат; но тогда нам не удастся сделать следующий шаг – а именно он является решающим и позволяет раскрыть весь невероятный потенциал, заложенный в быстрорастущей иерархии. Как только мы переходим от f_ω(n) к f_ω+1(n), происходит нечто качественно новое. Мы помним, что, увеличивая на единицу ординал, стоящий в индексе функции, мы подставляем предыдущую функцию саму в себя n раз. Если ординал конечный, в результате получается фиксированное количество стрелок. Ординал ω дает n – 1 стрелку. Использование же ординала ω + 1 позволяет нам применить рекурсию к количеству стрелок n раз – а это уже фантастический скачок, невероятно увеличивающий мощность рекурсии.

Возьмем для примера функцию f_{ω + 1}(2). Согласно нашему рекурсивному правилу, она равносильна f_ω(f_ω(2)). Раз мы определили f_ω(2) как f_n(2), то можем записать f_ω + 1(2) как f_ω(f₂(2)), просто заменив внутреннюю ω на 2. (Узнать значение внешней f_ω нельзя до тех пор, пока нам не будет известно, какое значение примет внутренняя.) Поскольку f₂(2) = 8, от f_ω + 1(2) у нас остается f_ω(8). Наконец, мы можем упростить внешнюю ω и получить f₈(8), включающую в себя семь стрелок. Этот пример, хоть и показывает, как можно использовать функцию f_{ω + 1} для применения рекурсии к количеству стрелок, не дает полного представления о внушительных возможностях этой функции. Они становятся очевидными только по мере роста n и числа соответствующих ему петель обратной связи. При n = 64 получаем f_{ω + 1}(64), что приблизительно равно числу Грэма. Следующая ступенька быстрорастущей иерархии, f_{ω + 2(n)}, открывает принципиально новые горизонты: на этом этапе весь математический аппарат, послуживший нам для достижения числа Грэма, подставляется сам в себя. В результате получается число, которое можно приближенно записать как g_{g … 64} (с 64 уровнями g в подстрочном индексе), но хотя бы отдаленно представить себе его масштаб не стоит даже пытаться.

Счетно-бесконечные ординалы простираются насколько хватает глаз, и каждый последующий из них – основа для новой, более мощной рекурсивной функции, оставляющей далеко позади предыдущую. Одни омеги составляют ряд такой длины, что он заканчивается только на омеге, возведенной в степенную башню высотой в омегу омег. Этот могучий ординал – эпсилон-ноль – настолько велик, что его невозможно описать средствами нашей классической арифметики, называемой арифметикой Пеано. С каждым шагом вдоль нескончаемой дороги омег конечное число, получаемое путем применения рекурсии, увеличивается на непостижимую величину. Но за самой величественной степенной башней из омег высятся башни, сложенные из многочисленных ярусов еще более внушительных бесконечных ординалов: сначала эпсилонов, потом дзет и так далее, и несть им числа – как мы уже выяснили раньше, когда говорили о бесконечности. С постоянным ростом ординалов растет и эффект обратной связи.

И вот наконец мы добрались до умопомрачительно большого ординала гамма-ноль (Γ₀), у которого есть и более звучное название: ординал Фефермана – Шютте, в честь впервые описавших его американского философа и логика Соломона Фефермана и немецкого математика Карла Шютте. Несмотря на то, что гамма-ноль – все еще счетный ординал и есть после него и другие, определить его можно, только используя несчетные ординалы (то есть такие, которые невозможно получить путем перестановки элементов алеф-нуля; для несчетных ординалов требуется алеф-один или больше элементов). Этот процесс напоминает ход развития самой быстрорастущей иерархии. Как для описания громадных конечных чисел нам пришлось в быстрорастущей иерархии прибегнуть к бесконечным ординалам, так и для описания огромных счетно-бесконечных ординалов мы вынуждены обратиться к ординалам несчетным. В языке просто не существует эпитетов, способных адекватно описать величину конечных чисел, которые можно получить с помощью рекурсии, используя ординал Фефермана – Шютте и другие, следующие за ним. Ни один математик, будь он хоть семи пядей во лбу, не в силах постичь всю безмерность чисел, порождаемых рекурсивными методами. Что, впрочем, нисколько не мешает математикам изобретать все более и более эффективные способы, генерирующие большие числа. Один из самых примечательных методов – функция TREE.

Как явствует из названия функции, она напоминает обычное дерево, растущее в лесу, или генеалогическое древо с ветвями, отходящими от общего ствола. Математические деревья – это особая разновидность так называемых графов. Их не нужно путать с графиками. График мы обычно представляем себе как кривую, показывающую соответствие между двумя величинами. Граф же в математике – нечто иное: это способ представления данных, когда точки, называемые узлами или вершинами, соединены отрезками – ребрами. Если, начав с одного из узлов графа и передвигаясь по его ребрам к другим узлам, можно вернуться к исходному, ни разу не проходя ни по одному ребру или узлу дважды, такой маршрут, и сам граф, называется циклом. Если от любого узла можно добраться до любого другого, не проходя дважды ни по одному ребру или узлу, то пройденный маршрут именуют путем, а граф – связным. Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. И генеалогические, и биологические деревья имеют именно такую структуру. Если все узлы графа пронумеровать или присвоить им неповторяющиеся цвета, то такое дерево называется помеченным. Если одну из вершин дерева обозначить каккорень, то получается корневое дерево. Одно из полезных свойств корневого дерева состоит в том, что от любого его узла можно проследить путь к корню.

Некоторые из математических деревьев, имеющих ту же структуру ветвей, что и у реального дерева, можно встроить в другие аналогичные деревья. Их называют “гомеоморфно вложимыми”. На простом языке это означает, что они похожи по форме или виду и одно из них – уменьшенный вариант другого. У математиков, конечно, есть для этого термина более точное определение. Они начинают с большего по размеру дерева и смотрят, как сильно можно “обрезать” его крону, используя два метода. Первый – удаление узлов. Если есть узел (кроме корневого), с которым соединены всего два ребра, его можно удалить, а ведущие к нему ребра срастить в одно. Второй метод – удаление ребер. Если два узла соединены единственным ребром, то это ребро стягивается, а узлы на его концах сливаются в один. Цветом получившегося нового узла становится цвет того из них, который был ближе к корню. Если можно, применяя эти две операции в любом порядке, из большего дерева получить меньшее, то говорят, что меньшее дерево гомеоморфно вложимо в большее. Американский математик и статистик Джозеф Краскал доказал важную теорему, связанную с ними. Предположим, у нас есть ряд деревьев, в котором первое дерево может иметь только один узел, второе – не больше двух узлов, третье – не больше трех и так далее; при этом ни одно не может быть гомеоморфно вложено ни в какое из последующих. Краскал обнаружил, что рано или поздно такая последовательность должна закончиться. Но какой может быть ее максимальная длина?

В ответ на поставленный вопрос американский математик и логик Харви Фридман, занесенный в 1967 году в “Книгу рекордов Гиннесса” как самый молодой университетский преподаватель в мире (в Стэнфорде в возрасте 18 лет), определил “функцию дерева” TREE(n) в качестве максимальной длины такой последовательности, где n – количество цветов для вершин. Фридман изучил выходные значения функции для различных значений n. Первое дерево состоит из единственного узла, имеющего определенный цвет, который нельзя использовать снова. Если n = 1, то этот цвет – единственный и последовательность тут же завершается, а значит, TREE(1) = 1. Если n = 2, у нас есть еще один цвет. Второе дерево может иметь до двух узлов включительно, так что содержит два узла, окрашенных в этот второй цвет. Третье дерево также должно содержать только этот цвет, но может иметь только один узел, поскольку иначе второе дерево будет гомеоморфно вложимо в третье. Больше в этом случае деревьев быть не может, поэтому TREE(2) = 3. И вот мы дошли до TREE(3) – и тут, как обнаружил Фридман, происходит нечто невероятное, настоящий взрыв. Совершив гигантский скачок, количество узлов внезапно вырастает до размеров, намного превышающих число Грэма, и достигает в быстрорастущей иерархии малого ординала Веблена – совсем не малого числа, которое мы уже упоминали, путешествуя по различным бесконечностям.

Гугология – поиск новых способов определения все бо́льших и бо́льших чисел – стала настолько популярной, что в этой области уже проводятся конкурсы. Один из первых, Bignum Bakeoff, организовал в 2001 году американский вундеркинд Дэвид Мейз. Перед участниками стояла задача написать на языке C программу не длиннее 512 символов (не считая пробелов), возвращающую как можно большее число. Поскольку для реального выполнения поданных на конкурс программ современным компьютерам понадобилось бы больше времени, чем существует Вселенная, код анализировали вручную, а победителя определяли на основании позиции в быстрорастущей иерархии. Первое место заняла программа loader.c, названная именем ее автора Ральфа Лоудера из Новой Зеландии. Для вычисления окончательного результата потребовались бы невероятно долгое время и машина с чудовищным объемом памяти. Но если бы это все же было возможно, то полученное число Лоудера затмило бы собой и TREE(3), и некоторых других героических обитателей гугологического космоса: таких, например, как SCG(13) – тринадцатый элемент последовательности, именуемой “числа субкубических графов” (схожей с последовательностью TREE, но состоящей из графов, в которых у каждой вершины не больше трех ребер).

В 2007 году в рамках конкурса Big Number Duel в непримиримом поединке за самое большое число сошлись двое философов, старых школьных приятелей – Агустин Райо (он же Мексиканский Множитель) из Массачусетского технологического института и Адам Элга (он же Доктор Зло) из Принстона. Победителем становился тот, кто даст определение самому колоссальному числу. Схватка, в которой обмен остротами и сложнейшая математическая, логическая и философская полемика сочетались с драматизмом боя за звание чемпиона мира по боксу, проходила в забитой до отказа аудитории центра “Стата” МТИ. Первый удар нанес Элга, начертав на доске единицу (видимо, в надежде, что его соперник не в форме). Райо незамедлительно парировал этот выпад, заполнив единицами всю доску. Элга тут же удалил часть линии у основания всех единиц, кроме первых двух, превратив их тем самым в знаки факториала. Так поединок продолжался, постепенно выходя за рамки знакомой математики, пока соперники не стали на ходу изобретать собственную нотацию для все больших чисел. Говорят, что в какой-то момент один из зрителей спросил Элгу: “А это число вообще можно вычислить?” На что тот после краткой паузы ответил: “Нет”. Наконец Райо отправил соперника в нокаут сокрушительным числом, описанным им как “наименьшее положительное число, большее любого конечного положительного числа, которое может быть выражено на языке теории множеств первого порядка с использованием не более чем гугола символов”. Мы не знаем, насколько велико число Райо, и, скорее всего, никогда не узнаем. Ни один компьютер никогда не сумеет его вычислить, даже если бы во Вселенной хватило места для гугола символов. Дело здесь не в нехватке места или времени: число Райо невычислимо, так же как неразрешима проблема остановки.

Афиша конкурса Big Number Duel, проходившего в Массачусетском технологическом институте.

На сегодняшний день, если говорить о более-менее осмысленных больших числах, число Райо – своего рода граница, отделяющая нас от неизвестного. Называли и бо́льшие числа, такие, например, как BIG FOOT, объявленное в 2014 году. Но чтобы получить хотя бы смутное представление о BIG FOOT, нам придется погрузиться в странную область под названием “вселенная куч” (oodleverse) и выучить язык теории куч первого порядка – а здесь не обойтись без ученой степени в области высшей математики и очень своеобразного чувства юмора. Да и в любом случае все самые большие на сегодня числа построены по тому же принципу, что и число Райо.

Чтобы еще глубже проникнуть в бескрайнее пространство чисел, гугологам нужно развивать существующие методики или разрабатывать новые, так же как освоение все более дальних просторов космоса требует новых прорывов, больших и малых, в двигателестроении. А пока охотникам за большими числами придется полагаться на те же приемы, что использовал Райо, только применять их уже к расширенной версии теории множеств первого порядка. Можно, например, добавить в нее аксиомы, которые позволят оперировать бесконечностями еще более грандиозного масштаба, а с их помощью уже генерировать новые рекордные конечные числа.

Если говорить начистоту, вся эта суета с описанием больших чисел ради рекордов не слишком волнует профессиональных математиков, так же как они не видят особого смысла в вычислении все большего и большего количества знаков числа пи. Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса.

Заманчиво думать, что огромные числа вроде числа Райо дают нам возможность немножко приблизиться к бесконечности. Но на самом деле это не так. Бесконечные числа можно использовать для получения конечных, но конечное и бесконечность никогда не сольются. Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до трех.

Рональд Грэм, друг Бесконечности

Иллюстрация pixabay.com

2020 год своими драмами планетарного масштаба оставил совершенно незамеченным печальный эпизод: в США умер Рональд Грэм — американский математик, создавший один из самых восхитительных и завораживающих научных объектов — собственно, число Грэма.

Для своего времени (1977 год) и на протяжении многих лет это было самое больше число, использованное в математическом доказательстве.

И тем число Грэма ещё восхитительней, что для его понимания не нужно обладать специальным математическим образованием. Его может понять и испытать невероятный душевный трепет самый обычный человек с элементарными знаниями и хорошим творческим мышлением. Я это докажу.

Число Грэма настолько велико, что для него бессмысленны такие эпитеты как «огромное», «гигантское», «сверх-гигантское», «колоссальное», «чудовищное» и так далее. Любые определения превосходных категорий крайне убоги на фоне этого числа, поэтому мы сразу же успокоимся и для простоты назовём его просто: «Очень Большое число».

Рональд Грэм, друг Бесконечности

Число Грэма не имеет эквивалента в физическом мире, его невозможно отобразить предметно и даже вообразить в объеме чего-либо.

Это не количество песчинок в пустыне Сахара и всех остальных пустынь, не количество молекул воды в Мировом океане и не количество атомов во всей наблюдаемой Вселенной (≈10⁸⁰).

Как первое, так второе и третье, как бы это выразиться… ну скажем: ничтожное чуть более, чем ничто по сравнению с числом Грэма.

Более того, если представить, что существует столько других Вселенных, сколько атомов в нашей Вселенной, и в каждой из них тоже столько же атомов, сколько в нашей, и если все атомы этой Мультивселенной взять вместе – то это тоже будет чуть более, чем ничто по сравнению с числом Грэма.

Это выходит, что 10⁸⁰ нужно умножить на 10⁸⁰ – при умножении с одинаковыми основаниями показатели степени просто складываются, а основание остаётся неизменным: получится 10¹⁶⁰ – невидимая пыль в масштабе числа Грэма.

Можно не стесняться и сколь угодно продолжать полет завораживающей фантазии, всё далее и далее: а вот если еще взять такое количество Мультивселенных, сколько атомов в первой Мультивселенной (10¹⁶⁰) и чтобы в каждой из них было столько же атомов, и если все их взять вместе, то есть: 10¹⁶⁰ умножить на 10¹⁶⁰. Получится 10^{320 –} гигантское число, но всё также невидимая пыль по сравнению с числом Грэма.

Можно в буквальном смысле всю жизнь сидеть и придумывать Мультивселенные мультивселенных, складывать и перемножать их атомы, но результатом будет все тот же: ничтожное чуть более, чем ничто по сравнению с числом Грэма.

Конечно же, все слышали о таком числе как гугол – 10¹⁰⁰ – это десять в степени сто. То есть единица и сто нулей. Число огромное, больше, чем количество атомов во Вселенной, как мы помним, атомов у нас ≈10⁸⁰.

Ну мы гугол даже рассматривать не будем в масштабе числа Грэма, эту станцию мы давно проехали. Но есть такое число как гуголплекс – десять в степени гугол.

Вот он:

10^{10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}.

Впечатляет, да? Цифру 10 нужно перемножить гугол раз. Гуголплекс нельзя записать в десятичной системе. Потому что придется написать цифру 1, а после неё гугол нулей. Понимаете? Не миллиард нулей написать после цифры 1, не триллион нулей, не дециллион, а гугол нулей!

Но у нас во Вселенной атомов меньше, чем гугол, как мы помним!

То есть если даже мы решим, что каждый атом – это отдельная цифра – «1» и «0», то их не хватит, чтобы записать гуголплекс! Да на чём писать-то?! На производство бумаги уже ничего не останется во Вселенной.

Поэтому гуголплекс можно записать только в виде степени, как показано выше.

Большое число гуголплекс? Оооочень большое!

А по сравнению с числом Грэма? Гм… ничтожное чуть более, чем ничто. Простите!

А гуголплекс в степени гуголплекс? Может уже близко к числу Грэма?

Ничтожное чуть более, чем ничто.

А гуголплекс в степени гуголплекс в степени гуголплекс в степени гуголплекс в степени гуголплекс – и так гуголплекс раз?! Ничтожное чуть более, чем ничто.

Я сильно понижу планку сравнений, потому что говорил о вещах абстрактных с крайне малым индексом воображения. А представьте себе обычную пшеничную муку. У каждого на кухне есть. Если набить пшеничной мукой под завязку нашу Вселенную, как мешок размером в 93 миллиарда световых лет, то будет слишком нелепо сравнивать количество крупинок муки с числом Грэма. Слишком нелепо! Число Грэма больше в невообразимое количество раз.

Я понимаю: рассуждения кажутся густо заливистыми и мошенническими – ну разве может такое быть, чтобы число атомов вселенных и мультивселенных, гуголплексы в степени гуголплексов – и всё это ничтожное?! – может, автор чеканулся?! – но когда вы позже поймёте число Грэма, сомнения развеются.

Но достаточно лирики в отношении предмета, перейдём к прозаическому его разъяснению. Конечно, я наговорил о нём предостаточно необъятно-возвышенного. Однако, с помощью особой записи, которую можно понять и без математического образования, вы осознаете если не масштаб числа Грэма (это невозможно), но хотя бы ухватите рассудком крупицу числа Грэма, затмевающую Вселенную.

Природа числа

Эту главу можно не читать, здесь просто объясняется, как Грэм пришёл к своему числу.

Важно понимать: число Грэма – это не просто выдуманная от нечего делать величина в математике, выдумать-то можно, что угодно. Оно не символическая абстракция, а прикладной инструмент. Число Грэма – доказательство в решении математической задачи.

Сама задача из области математики под названием комбинаторика. Тоже можно понять без специального образования. Я понял, поймете и вы.

Напишу предельно простым языком, не употребляя такие слова как «графы» и «подграфы»

В общем так: у нас есть трехмерный куб. Все его вершины соединены линиями двух цветов – синего и красного. В произвольном порядке (но из каждой вершины должна исходить хотя бы одна линия другого цвета).

Можно распределить цвета так, что внутри куба получатся линии только одного цвета и лежащие в одной плоскости.

Как на рисунке справа.

Этакий красненький «андреевский» флаг или «почтовый» конвертик, как кому нравится. Но можно по-другому распределить цвета, и они не будут одного цвета в одной же плоскости – закрасить, например, одну линию «конвертика» синим.

А в четырехмерном кубе – тессеракте – можно тоже два варианта? Да, можно.

А в пятимерном? Да, можно.

В общем, математики дошли до шестимерного куба, и там всё также срабатывали оба варианта: можно и с одноцветным «конвертиком», и без него разукрасить.

На этом они остановились, потому что дело было в 70-х, и это был предел математических способностей того времени.

Но, конечно же, учёных продолжал безумно волновать вопрос: какой минимальной размерности должен быть куб, чтобы ИЗБЕЖАТЬ одноцветных линий в одной плоскости было НЕЛЬЗЯ?!

«Сколько-мерный» куб должен быть построен, когда как ни старайся, как ни комбинируй цветные линии, одноцветный «конвертик» обязательно будет наличествовать?!

Рональд Грэм предложил сокрушительный метод решения задачи: он доказал, что та самая размерность находится между цифрой 6 и неким Большим числом, которое он предложил. Может, уже семимерный куб даст неизбежный одноцветный «конвертик», а может, предпоследнее число перед Большим числом – где-то между ними – обязательно.

Проще говоря: Большое число – верхний предел размерности куба. Впоследствии это Большое число и назвали числом Грэма.

Кстати, в наше время нижняя граница поднялась повыше: до 13-мерного куба рассчитали математики – нет ещё обязательного одноцветного «конвертика»)))

Да, вы, конечно, можете поинтересоваться: «А почему они это делают, Грэм и другие?! Строят кубы, разрисовывают квадратики, ищут плоскости? Кому это надо вообще?!» Конечно, конечно… Но давайте так: две с половиной тысячи лет назад подобные вопросы задавали Пифагору и Евклиду их незатейливые современники, а вон оно как вышло. Не уподобляйтесь незатейливым современникам.

Приступим к осознанию числа Грэма.

Тройка

Нам понадобится цифра «3», которая должна быть возведена в Очень Большую Степень.

Но как я уже сказал, число Грэма нельзя записать не только в десятичной системе, но даже в виде степени это сделать невозможно. Однако, в семидесятых годах другой математик по имени Дональд Кнут разработал метод записи Больших чисел, который после назвали стрелочная нотация Кнута. Очень красиво звучит. Даже поэтически.

Я не буду разъяснять отдельно, что такое стрелочная нотация Кнута, чтобы не перегружать. Вы поймёте этот метод по ходу осознания числа Грэма. Также я не буду использовать особые термины (тетрация, пентация и гексация) с той же целью: не утяжелять восприятие. Как говорил Эйнштейн, нужно упрощать всё до предела, но не более того.

Итак, первый уровень:

«Одна стрелка»

3↑3

Одна стрелка в нотации Кнута означает простое возведение цифры в какую-либо степень: 2↑4 = 2⁴ = 16; 5↑3 = 5³ = 125; 10↑5 = 10⁵ = 100 000

Но у нас в основе цифра «3».

3↑3 = 3³ = 27

Всё просто! Пока всё очень просто.

Переходим на второй уровень.

«Две стрелки»

3↑↑3

Тут тоже всё достаточно просто. При двух стрелках в нотации Кнута число справа указывает, в каком количество будет представлено число, которое находится слева, при горизонтальной развёртке записи «две стрелки» в запись «одна стрелка» – упрощаем.

Справа у нас цифра «3». И слева, так получилось, что она же.

Таким образом 3↑↑3 = 3↑3↑3 – и мы получаем последовательное возведение в степени троек.

Важно!!! Вычисление в стрелочной нотации Кнута производится справа-налево.

То есть:

3↑3↑3

– это не 27↑3 = 27³ = 19 683! – неправильно!

А это:

3↑3↑3 = 3↑27 = 3²⁷!

Тогда в общем:

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 3↑27 = 3²⁷ = 7 625 597 484 987!

Ого! Впечатляет, да?!

Всего две стрелки в нотации Кнута и уже более 7 с половиной триллионов!

Но это ещё не всё. Нам придётся задержаться на уровне «две стрелки» и ввести такое понятие как «степенная башня», потому что дальше нам без него не обойтись.

Итак, возвращаемся к записи «две стрелки»: 3↑↑3

Схема построения степенной башни такая же, как при горизонтальной развёртке. Проще говоря, степенная башня – это вертикальная развёртка нотации Кнута.

Число справа указывает, в каком количестве будет представлено число, которое находится слева, при вертикальной развёртке:

Тогда:

3↑↑3 = 3^3³

– у нас получилась степенная башня!

Важно!!! Результат степенной башни вычисляется сверху-вниз!

То есть самое верхнее число обозначает степень, в которую нужно возвести число ниже, результат сам становится степенью, в которую нужно возвести число ниже. И так далее до самого нижнего числа.

То есть у нас опять же получится не 27³ !

А получится: 3²⁷

Тогда в общем:

3↑↑3 = 3^3³ = 3²⁷ = 7 625 597 484 987

– как и при горизонтальной развёртке! Ну надо же – один результат )

Чтобы вы понимали: если бы справа была цифра «5», то развёртка выглядела бы так: 3↑↑5 = 3↑3↑3↑3↑3 – пять троек. И степенная башня состояла бы из пяти троек, и башню нужно было бы вычислять сверху вниз. Число уже огромное, позже придём к нему.

Думаю, всё понятно с двумя стрелками. Переходим на следующий уровень.

«Три стрелки»

Тут сложнее, но всё равно ещё доступно для быстрого понимания.

3↑↑↑3

Применяем метод горизонтальной развёртки при трёх стрелках. Число справа указывает, в каком количестве будет представлено число слева, при горизонтальной развёртке записи «три стрелки» в запись «две стрелки».

Тогда 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) – три тройки, а между ними по две стрелки.

Берём развёртку в «две стрелки» и вычисляем правую часть, которая в скобках:

…(3↑↑3) – скобки и вставлены для того, чтобы показать очередность вычислений.

Это простая запись в «две стрелки», которую мы уже вычислили выше в виде горизонтальной развёртки в три тройки справа-налево и в виде степенной башни в три тройки же сверху-вниз, и у нас получилось 7 625 597 484 987.

Тогда подставляем это число вместо троек с двумя стрелками в скобках:

3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)

3↑↑↑3 = 3↑↑7 625 597 484 987

Как мы прекрасно помним, в записи «две стрелки» число справа указывает, в каком количестве будет представлено число, которое находится слева, при горизонтальной развёртке записи «две стрелки» в запись «одна стрелка».

Тогда:

3↑↑↑3 = 3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑3↑3↑3……..3↑3↑3↑3

– и количество троек, между которыми будет «одна стрелка», будет равняться числу 7 625 597 484 987!

То есть цифры «3» нужно последовательно возвести в непомерно возрастающие степени, вычисляя справа-налево – когда результат вычисления справа становится степенью для тройки левее и так далее – 7 625 597 484 987 раз!

Или можно создать вертикальную развёртку и построить «степенную башню», при которой цифра «3» вытянется лестницей степеней в количестве 7 625 597 484 987 раз!

Если каждую тройку записывать в тетрадную клеточку, то высота такой башни составит примерно 38 миллионов километров – это расстояние до планеты Венеры.

Важно!!! Степенная башня высотой до Венеры – это не число с таким количеством цифр – да, оно тоже было бы гигантским! А это именно что степенная башня, которую нужно ещё вычислять, чтобы получить конечный результат в виде числа. И вычислять нужно, как мы помним, сверху-вниз!

Так вот если мы представим, что на Венере существует какая-то древняя могущественная цивилизация, и один из её представителей возьмётся для нас вычислить степенную башню в 7 625 597 484 987 троек, то он будет спускаться по ней как по лестнице.

Первая ступенька – 3.

Вторая ступенька – 27.

Третья ступенька – 7 625 597 484 987

Четвёртая ступенька – 3^{7 625 597 484 987} – понятия не имею, сколько это будет, вычислить уже нельзя подручными мощностями. Только супер-компьютер справится.

Пятая ступенька – 3^{3^{7 625 597 484 987}} – тройка в степени тройки, которая сама в степени более 7 с половиной триллионов!

Это число, которое уже нельзя вычислить ни на одном супер-компьютере.

Гуголплекс побледнел перед ним и рассыпался. Это какое-то «Дикое» число! И оно всего лишь на пятой ступеньке вниз! А их там… ещё более

7 с половиной триллионов ступенек-троек! И каждая нижняя возводится в степень числа, которое получилось при вычислении верхней предыдущей.

Это – чудовищно-взрывная прогрессия.

Мы понятия не имеем в какую степень должна быть возведена самая нижняя ступенька-тройка, равно как понятия не имеем, каков будет результат – что это будет за конечное число в вычислении степенной башни?!

Но допустим, представитель древней могущественной венерианской цивилизации справился с вычислением. И не имея возможности назвать его нам, потому что в человечьем языке нет таких слов и масштабов в сознании, венерианец ограничился образным определением и назвал его «Лютое» число.

В земном научном мире у него, правда, есть название – «Tritri» («Тритри»).

Итак: 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) = 3↑↑7 625 597 484 987 = Лютое число (Tritri)

И для большей наглядности я нарисовал инфографику.

Переходим на следующий уровень.

«Четыре стрелки»

Я бы хотел написать «а вот это уже сложно», но если вы поняли предыдущие вычисления, то нет! Не сложно, хоть и массивней.

3↑↑↑↑3

Применяем метод горизонтальной развёртки по прежнему алгоритму: в записи «четыре стрелки» число справа указывает, в каком количестве число слева будет представлено при переводе в запись «три стрелки»:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3)

В записи «три стрелки» берём правую часть, которая в скобках: …(3↑↑↑3)

Мы её вычислили выше. И у нас получилось Лютое число или Тритри.

Подставляем его в горизонтальную развёртку:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3)

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑Лютое-Тритри

Смотрим опять на нотацию «три стрелки»:.

…3↑↑↑Лютое-Тритри

Мы помним, что при записи «три стрелки» число справа указывает, в каком количестве число слева будет представлено в горизонтальной развёртке при переводе в запись «две стрелки». А справа у нас – Лютое-Тритри число.

Тогда:

…3↑↑↑Лютое-Тритри = 3↑↑(3↑↑(3↑↑(3………(3↑↑(3↑↑(3↑↑3)) – таким образом мы видим, что при переводе записи «три стрелки» в запись «две стрелки» количество троек, между которыми «две стрелки», будет равняться… Лютому-Тритри числу!

Значит, в целом получается, что:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑Лютое-Тритри = 3↑↑(3↑↑(3↑↑(3………(3↑↑(3↑↑(3↑↑3)) – таким образом выходит, что в нашем случае нотация «четыре стрелки» разворачивается в конечном итоге в нотацию «две стрелки», где количество троек будет равняться Лютому-Трири числу. Скобки поставлены для того, чтобы обозначить первоочерёдность вычисления – справа-налево.

Значит, можем исключить из записи нотацию «три стрелки» – она своё отработала, и упростить нотацию «четыре стрелки».

Тогда:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) = 3↑↑↑Лютое-Тритри = 3↑↑(3↑↑(3↑↑(3………(3↑↑(3↑↑(3↑↑3))

– получается:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3↑↑3………3↑↑3↑↑3↑↑3

– где количество троек в нотации «две стрелки» – Лютое-Тритри. Скобки я тоже убрал, чтобы не смущали.

Нет никакого смысла пытаться представить длину этой цепочки.

Но! Это ещё не всё!

Идём дальше и метод горизонтальной развёртки дополняем вертикальными развёртками – степенными башнями.

Мы помним, что запись «две стрелки» означает, что число справа указывает, в каком количестве будет представлено число слева при вертикальной развёртке, то есть при построении степенной башни.

И у нас тут Лютое-Тритри число троек с «двумя стрелками», которые взаимосвязаны в цепочке горизонтальной развёртки.

Начинаем строить в горизонтальной развёртке степенные башни и вычислять сверху-вниз, двигаясь справа-налево.

Тогда строим башни и вычисляем, начиная с крайних справа троек:

3↑↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3↑↑3………3↑↑3↑↑3↑↑3↑↑3 = 3↑↑3↑↑3↑↑3…..3↑↑3↑↑3↑↑3^3³ =

= 3↑↑3↑↑3↑↑3……3↑↑3↑↑3↑↑7 625 597 484 987

Получается, что тройка левее должна вырасти в степенную башню, состоящую аж из 7 625 597 484 987 троек – до Венеры, помните! Я её нарисовать уже не могу тут)

И когда мы вычислим эту башню сверху-вниз, то получим наше старое доброе Лютое-Тритри число!

А следующая тройка левее должна, соответственно, вырасти в степенную башню, состоящую и Лютого-Тритри числа троек! И когда мы вычислим эту степенную башню сверху-вниз, то получим число, назовём его Лютое-1.

А следующая тройка левее должна вырасти в степенную башню, состоящую из Лютого-1 числа троек… И так далее! – мы должны двигаться левее-левее-левее… – сверхчудовищная, сверхвзрывная прогрессия от башни к башне.

И всего троек-башен у нас, как мы помним, в цепочке горизонтальной развёртки Лютое-Тритри число (учитывая, что самая права тройка – тоже башня, маленькая такая, из одной цифры).

Помним: каждая башня левее состоит из количества троек, полученного при вычислении числа предыдущей башни, которая справа.

Таким образом, когда последняя тройка слева вырастит в башню, состоящую из невообразимого числа троек, полученного при вычислении предпоследней башни; и когда мы вычислим последнюю башню, то мы получим совершенно «Жуткое» число. Или как оно называется по-научному – g1.

Для простоты понимания смотрите инфографику.

Я, конечно, тут разошёлся малость – «вычислим Лютое число, вычислим Лютое-1 число, вычислим число g1!» – смешно!

Если помните, то Лютое-Тритри нам вычислил венерианец. Сами мы не вычислим ничего. Это абсолютно невозможно.

Жуткое-g1 число – запредельно, оно за гранью всех мыслимых и немыслимых Вселенных и Мультивселенных.

И это уже число Грэма? Гм… Честно сказать: не совсем )

Давайте снова маленькое лирическое отступление.

Знаете, есть такая наука палеонтология – изучение древней жизни на Земле. В нашем случае проще говоря – динозавров. Известно, что многие из них были большими и очень большими животными. Но целиком окаменелый скелет обнаружить очень трудно. Палеонтологи чаще всего находят фрагменты, например, уцелевший позвонок аргентинозавра или амфицелия, например. И учитывая размер позвонка – 1,8 – 2,5 метров высоту, прикидывают габариты животного в целом – получается внушительно: 40 – 50 метров в длину.

Так вот Жуткое-g1 число – это фрагмент числа Грэма, но! – с небольшими поправками. Всё-таки позвонок динозавра – довольно крупный фрагмент динозавра.

А g1 – как бы это сказать, не очень крупный фрагмент числа Грэма.

Это не только не позвонок, но и даже не клетка числа Грэма. А уж если быть совсем точным – это даже не атом числа Грэма.

g1 – запредельное гигантское, невообразимое число – это какая-то субатомная, запредельно маленькая частица числа Грэма, неразличимая в масштабе его тела целиком никоим образом. Никоим!

Проследим ещё раз наш путь:

3↑3 = 27

3↑↑3 = 7 625 597 484 987

3↑↑↑3 = Лютое-Тритри число

3↑↑↑↑3 = Жуткое-g1 число

Понимаете, что всего четыре шага – от одной стрелки до четвёртой включительно – и мы получили феноменальную прогрессию от числа 27 до Жуткого-g1 числа.

Всего четыре стрелки!

Но вслед за g1 идёт g2 число.

Что оно из себя представляет?

Да это очень просто:

g2 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g1. Это мучительно больно!

Понимаете, да?! «Четыре стрелки» катастрофическим образом разнесли наше представление о размерности и масштабах в виде необъятного числа g1.

И следующий уровень – это «g1 стрелок», которые нужно поместить между двумя тройками.

В результате мы получим число g2. То есть никогда мы ничего не получим, это я просто так говорю – образно, поэтически)))

А после g2 идёт число g3. Что это такое? Тоже просто:

g3 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g2.

g4 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g3.

g5 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g4.

g63 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g62.

И наконец 64-й слой:

g64 = 3↑↑↑↑↑↑……..↑↑↑↑↑↑↑3 – где количество стрелок равно… g63.

g64 = G

G – число Грэма

и привет Бесконечности! )

А есть ли число больше, чем число Грэма, которое также применялось в математическом доказательстве?

Есть.

И называется это число TREE(3) – ДЕРЕВО(3)

И о нём как-нибудь в другой раз )

Конечно же, число Грэма – вымышленный персонаж физико-математического мира. Но так получилось, что многие персонажи этого мира – хоть вымышленные, хоть нет – производят несоизмеримо большее драматическое впечатление, чем любые вымышленные персонажи из лирико-художественного мира. Просто мало кто об этом задумывается.

Рекорды в математике

Математика — это мир интересных чисел

При всей своей кажущейся сложности математика — очень простая наука. На любой конкретный вопрос можно получить четкий ответ. Для решения любой задачи можно применять разные методы, но результат все равно будет одним и тем же. Математика конкретна, объективна, и в этом ее совершенство. История математики хранит множество удивительных фактов, а ее рекорды постоянно обновляются.

Самое большое число

Самое большое число в математике называется «бесконечность», а точнее — число, стремящееся к бесконечности. Оно имеет стандартное международное обозначение — ∞ (перевернутая восьмерка). Что же касается самого большого конечного числа, имеющего собственное название, то это гугол. Изображается он единицей со 100 нулями. Его также записывают как 10¹⁰⁰ (10 в степени 100). Название этому числу придумал в 1938 г. 9-летний Милтон Сиротта — племянник американского математика Эдварда Каснера. Правда, существует еще число гуголплекс — это единица и гугол нулей за ней, записывается как ₁₀10¹⁰⁰ (10 в степени гугол). С помощью суффикса -плекс можно образовать число гуголплексплекс (10 в степени гуголплекс). Таким же способом можно образовать сколь угодно большое число, которое также будет иметь название.

Точнейшее значение числа П

Число п — постоянная величина, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. В цифровом выражении πначинается как 3,141592… и имеет бесконечную математическую продолжительность. В наши дни вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

K настоящему времени известно 10 триллионов знаков после запятой…

Величайшее простое число

Простым числом является любое положительное целое число (кроме 1), которое делится только на себя или на единицу, то есть это 2,3,5,7 или 11. Самое маленькое простое число — 2. Наибольшим известным простым числом является 2^43112609—1. Оно содержит 12 978 189 десятичных цифр. Его открыли 23 августа 2008 г. на математическом факультете Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (США). Участники проекта получили за это премию в 100 000 долларов США. Кстати, за нахождение простых чисел из более чем 100 млн и 1 млрд десятичных цифр назначены денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов.

Излюбленная теорема

Теорема Пифагора проста и красива

Теорема Пифагора является одной из основополагающих теорем геометрии и устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Сформулировать ее можно следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. По одним источникам, в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы, по другим — более 500. Судя по всему, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным количеством доказательств.

Самое неточное значение числа П

В 1897 г. власти американского штата Индиана попытались принять закон, который устанавливал значение числа π равным 3,2. Им казалось, что так будет проще и лучше для всех. Только благодаря вмешательству профессора университета данный закон не был принят.

Счетная машинка в голове

Людей, которые обладают выдающимися способностями в устном счете, называют феноменальными счетчиками

Рекордсменом по скорости устного счета был Йоган Дазе (1824— 1861) из Гамбурга. Он мог мысленно перемножить два 8-значных числа за 54 с, два 20-значных числа за 6 мин и два 40-значных за 40 мин.

Итальянец Жак Инауди (1867—1950) мог перемножить два 4-значных числа за 21 с.

В 1927 г. француз Луи Флери (1893—1980) за 2 с умножал 3-значное число на 2-значное и за 10 с — 3-значное на 3-значное.80

Один гугол

Алексис Лемер поставил мировой рекорд, рассчитав корень тринадцати из стозначного числа.43,112,609 – 1

Третье по величине число в этом списке — это число всех планковых объемов во Вселенной, и в нем 185 цифр. А в этом числе почти 13 миллионов цифр. Чем это число важно? Это самое большое из известных сегодня простых чисел. Его обнаружили в августе 2008 года в ходе Great Internet Messene Prime Search (GIMPS). Вы наверняка слышали это слово, хотя бы в фильме «Назад в будущее», когда доктор Эммет Браун бормотал «она одна на миллион, одна на миллиард, одна на гуголплекс». Что такое гуголплекс? Помните длину гугола? Единица и сто нулей. А гуголплекс — это десять в степени гугол. Это больше, чем число всех частиц в известной нам части вселенной.

Числа Скьюза

∞. Бесконечность

∞ + 1

Простите, но этот пункт здесь очень важен.

Источник: https://Hi-News.ru/science/10-samyx-bolshix-i-vazhnyx-chisel.html

Самое большое число в мире

“Я вижу скопления смутных чисел, которые скрывается там, в темноте, за небольшим пятном света, которое дает свеча разума. Они шепчутся друг с другом; сговариваясь кто знает о чем. Возможно, они нас не очень любят за захват их меньших братишек нашими умами. Или, возможно, они просто ведут однозначный числовой образ жизни, там, за пределами нашего понимания’’.Дуглас Рэй

Продолжаем нашу рубрику САМОГО САМОГО. Сегодня у нас числа …Каждого рано или поздно мучает вопрос, а какое же самое большое число. На вопрос ребенка можно ответить миллион. А что дальше? Триллион.

А еще дальше? На самом деле, ответ на вопрос какие же самые большие числа прост. К самому большому числу просто стоит добавить единицу, как оно уже не будет самым большим. Процедуру эту можно продолжать до бесконечности.

А если же задаться вопросом: какое самое большое число существует, и какое у него собственное название?Сейчас мы все узнаем …

Существуют две системы наименования чисел — американская и английская.

Американская система постороена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название «миллион» которое является названием числа тысяча (лат. mille) и увеличительного суффикса -иллион (см.

таблицу). Так получаются числа — триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Американская система используется в США, Канаде, Франции и России. Узнать количество нулей в числе, записанном по американской системе, можно по простой формуле 3·x+3 (где x — латинское числительное).

Английская система наименования наиболее распространена в мире. Ей пользуются, например, в Великобритании и Испании, а также в большинстве бывших английских и испанских колоний.

Названия чисел в этой системе строятся так: так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следущее число (в 1000 раз большее) строится по принципу — то же самое латинское числительное, но суффикс — -иллиард.

То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д.

Таким образом, квадриллион по английской и американской системам — это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x — латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло только число миллиард (10 9), которое всё же было бы правильнее называть так, как его называют американцы — биллионом, так как у нас принята именно американская система.

Но кто у нас в стране что-то делает по правилам! 😉 Кстати, иногда в русском языке употребляют и слово триллиард (можете сами в этом убедиться, запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по всему, 1000 триллионов, т.

е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или англйской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов. Таких чисел существует несколько, но подробнее о них я расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских числительных. Казалось бы, что ими можно записывать числа до бессконечности, но это не совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для начала как называются числа от 1 до 10 33:

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше.

Что там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же, при помощи объединения приставок породить такие монстры, как: андецилион, дуодециллион, тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион, сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и новемдециллион, но это уже будут составные названия, а нам были интересны именно собственные названия чисел. Поэтому собственных имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё можно получить лишь всего три — вигинтиллион (от лат. viginti — двадцать), центиллион (от лат. centum — сто) и миллеиллион (от лат. mille — тысяча). Больше тысячи собственных названий для чисел у римлян не имелось (все числа больше тысячи у них были составными). Например, миллион (1 000 000) римляне называли decies centena milia, то есть «десять сотен тысяч». А теперь, собственно, таблица:

Таким образом, по подобной системе числа больше, чем 10 3003, у которого было бы собственное, несоставное название получить невозможно! Но тем не менее числа больше миллеиллиона известны — это те самые внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Самое маленькое такое число — это мириада (оно есть даже в словаре Даля), которое означает сотню сотен, то есть — 10 000.

Слово это, правда, устарело и практически не используется, но любопытно, что широко используется слово «мириады», которое означает вовсе не определённое число, а бесчисленное, несчётное множество чего-либо.

Считается, что слово мириада (англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего Египта.

Насчёт происхождения этого числа существуют разные мнения. Одни считают, что оно возникло в Египте, другие же полагают, что оно родилось лишь в Античной Греции. Как бы то ни было на самом деле, но известность мириада получила именно благодаря грекам.

Мириада являлось названием для 10 000, а для чисел больше десяти тысяч названий не было. Однако в заметке «Псаммит» (т.е. исчисление песка) Архимед показал, как можно систематически строить и называть сколь угодно большие числа.

В частности, размещая в маковом зерне 10 000 (мириада) песчинок, он находит, что во Вселенной (шар диаметром в мириаду диаметров Земли) поместилось бы (в наших обозначениях) не более чем 1063песчинок.

Любопытно, что современные подсчеты количества атомов в видимой Вселенной приводят к числу 1067 (всего в мириаду раз больше). Названия чисел Архимед предложил такие:

Источник: https://masterok.livejournal.com/2400091.html

Самое большое число в мире

Бесконечность счетных чисел

Вот некоторые наиболее известные названия больших чисел:

Число нулейНазваниеНазвание на английском

3	тясяча	thousand
6	миллион	million
9	миллиард (биллион)	billion
12	триллион	trillion
15	квадриллион	quadrillion
18	квинтиллион	quintillion
21	секстиллион	sextillion
24	септиллион	septillion
27	октиллион	octillion
30	нониллион	nonillion
33	дециллион	decillion
36	ундециллион	undecillion
39	дуодециллион	duodecillion
42	тредециллион	tredecillion
45	кватуордециллион	quattuordecillion
48	квиндециллион	quindecillion
51	сексдециллион	sexdecillion
54	септендециллион	septendecillion
57	октодециллион	octodecillion
60	новемдециллион	novemdecillion
63	вигинтиллион	vigintillion
66	унвигинтиллион	unvigintillion
69	дуовигинтиллион	duovigintillion
72	тревигинтиллион	trevigintillion
75	кватуорвигинтиллион	quattuorvigintillion
78	квинвигинтиллион	quinvigintillion
81	сексвигинтиллион	sexvigintillion
84	септенвигинтиллион	septenvigintillion
87	октовигинтиллион	octovigintillion
90	новемвигинтиллион	novemvigintillion
93	тригинтиллион	trigintillion
96	унтригинтиллион	untrigintillion
99	дуотригинтиллион	duotrigintillion
102	третригинтиллион	trestrigintillion
105	кватортригинтиллион	quattuortrigintillion
108	квинтригинтиллион	quintrigintillion
111	секстригинтиллион	sextrigintillion
114	септентригинтиллион	septentrigintillion
117	октотригинтиллион	octotrigintillion
120	новемтригинтиллион	novemtrigintillion
123	квадрагинтиллион	quadragintillion
126	унквадрагинтиллион	unquadragintillion
129	дуоквадрагинтиллион	duoquadragintillion
132	треквадрагинтиллион	trequadragintillion
135	кваторквадрагинтиллион	quattuorquadragintillion
138	квинквадрагинтиллион	quinquadragintillion
141	сексквадрагинтиллион	sexquadragintillion
144	септенквадрагинтиллион	septenquadragintillion
147	октоквадрагинтиллион	octoquadragintillion
150	новемквадрагинтиллион	novemquadragintillion
153	квинквагинтиллион	quinquagintillion
156	унквинкагинтиллион	unquinquagintillion
159	дуоквинкагинтиллион	duoquinquagintillion
162	треквинкагинтиллион	trequinquagintillion
165	кваторквинкагинтиллион	quattuorquinquagintillion
168	квинквинкагинтиллион	quinquinquagintillion
171	сексквинкагинтиллион	sexquinquagintillion
174	септенквинкагинтиллион	septenquinquagintillion
177	октоквинкагинтиллион	octoquinquagintillion
180	новемквинкагинтиллион	novemquinquagintillion
183	сексагинтиллион	sexagintillion
186	унсексагинтиллион	unsexagintillion
189	дуосексагинтиллион	duosexagintillion
192	тресексагинтиллион	tresexagintillion
195	кваторсексагинтиллион	quattuorsexagintillion
198	квинсексагинтиллион	quinsexagintillion
201	секссексагинтиллион	sexsexagintillion
204	септенсексагинтиллион	septensexagintillion
207	октосексагинтиллион	octosexagintillion
210	новемсексагинтиллион	novemsexagintillion
213	септагинтиллион	septuagintillion
216	унсептагинтиллион	unseptuagintillion
219	дуосептагинтиллион	duoseptuagintillion
222	тресептагинтиллион	treseptuagintillion
225	кваторсептагинтиллион	quattuorseptuagintillion
228	квинсептагинтиллион	quinseptuagintillion
231	секссептагинтиллион	sexseptuagintillion
234	септенсептагинтиллион	septenseptuagintillion
237	октосептагинтиллион	octoseptuagintillion
240	новемсептагинтиллион	novemseptuagintillion
243	октогинтиллион	octogintillion
246	уноктогинтиллион	unoctogintillion
249	дуооктогинтиллион	duooctogintillion
252	треоктогинтиллион	treoctogintillion
255	кватороктогинтиллион	quattuoroctogintillion
258	квиноктогинтиллион	quinoctogintillion
261	сексоктогинтиллион	sexoctogintillion
264	септоктогинтиллион	septoctogintillion
267	октооктогинтиллион	octooctogintillion
270	новемоктогинтиллион	novemoctogintillion
273	нонагинтиллион	nonagintillion
276	уннонагинтиллион	unnonagintillion
279	дуононагинтиллион	duononagintillion
282	тренонагинтиллион	trenonagintillion
285	кваторнонагинтиллион	quattuornonagintillion
288	квиннонагинтиллион	quinnonagintillion
291	секснонагинтиллион	sexnonagintillion
294	септеннонагинтиллион	septennonagintillion
297	октононагинтиллион	octononagintillion
300	новемнонагинтиллион	novemnonagintillion
303	центиллион	centillion

Как называется самое большое простое число

Длина его — 24 862 048 символов. Для сравнения: в эпохальном произведении Л.Н. Толстого «Война и мир» около 6-7 миллионов символов, если учитывать знаки препинания и пробелы.
Это число можно записать следующим образом: 282589933-1
А читается оно так: два в степени 82589933 минус один.
Существует целый онлайн-проект GIMPS, нацеленный как раз на поиск самых больших простых чисел. В нем принимают участие математики из разных стран. Поэтому новые рекордсмены появляются часто. Работают ученые, что называется, не за страх, а за деньги. Ведь тому, кто откроет следующее наибольшее простое число Мерсенна достанется 3000 долларов.

Какое самое большое число в мире

И… «и так далее», которое, впрочем, не бесконечно, а заканчивается фантастически гигантским числом. Вот его-то и именуют числом Грэма. Кстати, в настоящее время решение Грэма и Ротшильда устарело. Математики выяснили, что 6-7-8-9-10-11-12-мерные кубы все же можно покрасить без «конвертов».

Но где-то в промежутке между 13 и числом Грэма гарантированно есть число выше которого «конверты» в любом случае будут.

гугол — 10100;
Или: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
гуголплекс — 10гугол,

то знайте, что этими числами в математике лишь «разминаются», а число Грэма в немыслимое количество раз больше, чем они. И даже больше, чем число Скьюза, находящееся между 1019 и 1,3971672·10316 и приблизительно равное e727,951336108.

Возможно ли представить и записать число за гранью понимания

А вот цифры, с которых начинается G64 неизвестны, и вряд ли когда-либо будут.

Давайте сравним трех монстров: гугол, гуголплекс и число Грэма.

Гугол — это количество песчинок, которые могут поместиться во вселенной, умноженное на 10 миллиардов. Итак, представьте себе вселенную, заполненную мелкими песчинками — на десятки миллиардов световых лет над Землей, под ней, перед ней, позади нее — бесконечный песок.

Теперь представьте, что в какой-то момент вы берете одну песчинку, чтобы рассмотреть ее под мощным микроскопом.

И видите, что на самом деле это не единственное зерно, а 10 миллиардов микроскопических зерен, а все вместе они размером с песчинку.

Если бы это было так для каждой отдельной песчинки в этой гипотетической вселенной, то общее количество этих микроскопических зерен было бы гуголом.

Для количественной оценки гуголплекса астроном и астрофизик Карл Саган привел пример заполнения всего объема наблюдаемой вселенной мелкими частицами пыли размером приблизительно 1,5 микрометра. Исходя из этого, общее количество различных комбинаций, в которых эти частицы могут быть расположены, будет равно примерно одному гуголплексу.
А теперь представим, что гуголплекс — это даже не песчинка, а крохотная точка, которую можно рассмотреть лишь в самый мощный микроскоп. И у нас вся вселенная заполнена такими крохотными точками. Так вот, даже это не идет ни в какое сравнение с числом Грэма. Но что, если мы хотим использовать все пространство наблюдаемой вселенной для его записи (предположим, что запись каждой цифры занимает как минимум объём Планка)? Увы, у нас это не выйдет! Но всегда можно пойти другим путем.

Как записать G64 с помощью метода Кнута

Вот как выглядит эта нотация: a ↑ b = ab = a × a × a × …, и так b раз.

Например 3↑3 = 3³.
Гугол записывается так 10↑10↑2.
А гуголплекс — 10↑10↑10↑2

Мы можем описать число Грэма огромным набором этих стрелок вверх.

Источник: https://basetop.ru/samoe-bolshoe-chislo-v-mire/

Самое большое число

Из школьного курса известно, что наибольшего числа не существует. Ведь если к самому большому числу прибавить хотя бы единицу, то получим еще большее число. Школьник с легкостью скажет, что, например, самое большое двузначное число — 99, а трехзначное — 999 и т.д.

Существует два алгоритма наименования чисел – английский и американский.

В американском названия больших чисел строятся следующим образом: сначала идет латинское порядковое числительное, а затем добавляется суффикс «иллион». Исключение – миллион. Далее получаются числа: триллион, квадриллион, квинтиллион. После идут секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион и дециллион. Такой способ используют в США, Канаде, России и Франции.

Американский алгоритм наименования чисел

Английский алгоритм используют в Испании и Великобритании, а так же в ряде бывших колоний.

Здесь названия строятся так: к латинскому числительному прибавляют суффикс «иллион», к следующему числу (которое больше в 1000 раз) уже добавляют суффикс «иллиард».

После триллиона идет триллиард, после квадриллион, квадриллиард и т.д. Получается, что по английскому и американскому алгоритму одни и те же большие числа называются по-разному.

Читайте по теме: Самое маленькое число

В русский язык из английской системы пришел только миллиард (109), который американцы называют биллионом. Иногда в России употребляют слово триллиард, т.е. 1000 триллионов или квадриллион.

Самое большое простое число в мире – 274207281 – 1, которое содержит 22 338 618 десятичных цифр (простое число Мерсенна). Значение нашли в 2015 году в ходе проекта по распределенному поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Поясним, что простыми называются натуральные (целые положительные) числа, имеющие только два делителя — единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7 — простые числа. Список продолжают 11, 13, 17, 19… Кроме двойки все числа нечетные, иначе бы делились не только на единицу и себя, но и на два.

Значит, найденное простое число еще и самое большое из нечетных.

Маренн Марсен и самое большое простое число

По утверждению Евклида, простых чисел бесконечное множество, значит, наибольшего простого числа нет. Ученые до сих пор ищут числа-рекордсмены. И тому есть разумное объяснение. Всемирная организация Electronic Frontier Foundation учредила награды за подобные открытия: чем больше найденное число, тем выше награда.

Есть специальный способ проверки простоты чисел, который называется тест Люка-Лемера. Правда, предназначен он исключительно для чисел Мерсенна. Что же это за числа? Это вид натуральных чисел, расположенных в определенной последовательности. Имя им дал французский математик Мерсенн Марен. Вид числа Мерсенна такой:

Mn = 2n – 1,

где n — натуральное число.

При n = 1, 2, 3, 4, … числа Мерсенна образуют последовательность, начинающуюся с 1, 3, 7, 15. Затем идут 31, 63, 127. Продолжают ряд 255, 511, 1023, 2047 и т.д.

Такие числа используют в криптографии, например, для усовершенствования банковских кодов.

Внесистемные числа

Кроме чисел, которые записаны при помощи английской или американской систем, известны внесистемные числа. У них есть собственные названия, в которых нет латинских префиксов. Для понимания сначала рассмотрим запись латинскими числительными.

Единица – это 100, десять — 101 и так далее: миллиард — 109, триллион — 1012, квадриллион — 1015, квинтиллион — 1018, секстиллион — 1021, септиллион — 1024, октиллион — 1027, нониллион — 1030, дециллион — 1033.

С помощью приставок можно и дальше выводить числа: андециллион, дуодециллион, тридециллион и так далее. Но нужны собственные названия чисел, а тут только составные названия. Поэтому по этой системе собственных имен еще только три — вигинтиллион — 1063, центиллион — 10303, миллеиллион — 103003.

В миллеиллионе 3003 нуля

Число с собственным, а не составным названием больше 103003 получить невозможно. Однако числа больше миллеиллиона известны – это внесистемные числа.

Самое маленькое внесистемное число носит название мириада. Означает сотню сотен, т.е. 10000.

Источник: https://24smi.org/news/27723-kakoe-chislo-v-mire-schitaetsya-samym-facts.html

Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

Мой друг инженер недавно меня удивил. Он сказал, что не уверен, является число 1 простым или нет. Я удивилась, потому что никто из математиков не считает единицу простым.

Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя. Число 1 делится на 1, и оно делится само на себя. Но деление на себя и на 1 здесь не является двумя различными факторами. Так простое число это или нет? Когда я пишу определение простого числа, то пытаюсь устранить эту двусмысленность: я прямо говорю о необходимости ровно двух различных условий, деление на 1 и само на себя, или что простое число должно быть целым числом больше 1. Но зачем идти на такие меры, чтобы исключить 1?

Моё математическое образование научило меня, что хорошей причиной того, почему 1 не считается простым, является основная теорема арифметики. Она утверждает, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1594827×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это.

Изначально я планировала в статье объяснить основную теорему арифметики и покончить с этим. Но на самом деле не так сложно изменить формулировку теоремы для решения проблемы с единицей.

В конце концов, вопрос моего друга разжёг моё любопытство: как математики остановились на этом определении простого числа? Беглый поиск по Википедии показал, что единица раньше считалась простым числом, а сейчас нет.

Но статья Криса Колдуэлла и Енг Сюна демонстрирует немного более сложную историю.

Это можно понять с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единица) простым — это вопрос определения, то есть вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства. Тем не менее, определения не возникают случайным образом; выбор связан с нашим использованием математики и, особенно в этом случае, нашей нотацией».

Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и так далее. 1 считалась цифрой, а число состояло из нескольких цифр. По этой причине 1 не могла быть простым — это даже не число.

Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не является чётным или нечётным. В течение многих веков преобладало представление, что единица — это строительный блок для составления всех чисел, но не само число.

В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что в десятичной системе нет никакой разницы между 1 и любыми другими числами. Во всех отношениях 1 ведёт себя как любая другая величина. Хотя и не сразу, но это наблюдение в конечном итоге привело математиков к принятию 1 как любого другого числа. До конца XIX века некоторые выдающиеся математики считали 1 простым, а некоторые нет. Насколько я могу судить, это не было причиной разногласий; для самых популярных математических вопросов различие не являлось критически важным. Колдуэлл и Сюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, считающего 1 простым (он явно указал его в качестве простого числа в первых шести изданиях «Курса чистой математики», опубликованных между 1908 и 1933 годами, а в 1938 году изменил определение и назвал 2 наименьшим простым). В статье упоминаются, но не разбираются подробно изменения в математике, из-за которых 1 исключили из списка простых чисел. В частности, одним из важных изменений стала разработка множеств за пределами множества целых чисел, которые ведут себя как целые.

В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Вопрос может показаться бессмысленным, но он побуждает нас выразить словами уникальную роль единицы среди целых чисел. Самым необычным аспектом 1 является то, что его обратное значение тоже является целым числом (обратное значение x — это число, которое при умножении на x даёт 1.

У числа 2 обратное значение 1/2 входит в множество рациональных или действительных чисел, но не является целым: 1/2×2=1). Число 1 оказалось собственным обратным числом. Ни у какого другого положительного целого числа нет обратного значения в множестве целых чисел. Число с обратным значением называется обратимым элементом.

Число −1 тоже является обратимым элементом в наборе целых чисел: опять же, оно обратимый элемент само для себя. Мы не рассматриваем обратимые элементы как простые или составные, потому что вы можете умножить их на некоторые другие обратимые элементы без особых изменений. Тогда мы можем считать, что число -2 не так уж отличается от 2; с точки зрения умножения.

Если 2 является простым, то и −2 должно быть таким же.

Я старательно избегала в предыдущем абзаце определения простого из-за неудачного факта, что для этих больших множеств такое определение не подходит! То есть оно немного нелогично, и я бы выбрала другое. Для положительных целых чисел у каждого простого числа p два свойства:

Его нельзя записать как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является обратимым элементом.

Если произведение m×n делится на p, то m или n должны быть делимы на p (для примера, m=10, n=6, а p=3.)

Первое из этих свойств — то, как мы могли бы охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, тут получается неприводимый элемент. Второе свойство — это простой элемент. В случае натуральных чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это не относится к каждому интересному набору чисел.

В качестве примера рассмотрим множество чисел вида a+b√−5 или a+ib√5, где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Если вы умножите числа 1+√−5 и 1-√−5, то получите 6.

Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые тоже находятся в этом множестве чисел при b=0.

Каждое из чисел 2, 3, 1+√−5, и 1−√−5 нельзя представить как произведение чисел, которые не являются обратимыми элементами (если не верите мне на слово, это не слишком трудно проверить).

Но произведение (1+√−5)(1−√−5) делится на 2, а 2 не делится ни на 1+√−5, ни на 1−√−5 (опять же, можете проверить, если не верите мне). Таким образом, 2 является неприводимым элементом, но не простым. В этом наборе чисел 6 можно разложить на неприводимые элементы двумя различными способами.

Приведённое выше число, которое математики могут назвать Z[√-5], содержит два обратимых элемента: 1 и −1. Но есть аналогичные множества чисел с бесконечным количеством обратимых элементов. Поскольку такие множества стали объектами изучения, есть смысл чётко разграничить определения обратимого, неприводимого и простого элементов. В частности, если есть множества чисел с бесконечным числом обратимых элементов, становится всё труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если не уточнить, что обратимые элементы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики и не занимаюсь теорией чисел и хотела бы прочитать больше, как именно происходил этот процесс, но я думаю, что это одна из причин, которые Колдуэлл и Сюн считают причиной исключения 1 из простых чисел.

Как это часто бывает, мой первоначальный аккуратный и лаконичный ответ на вопрос, почему всё устроено так, как есть, в конечном итоге стал только частью проблемы. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о сложной истории простоты.

Источник: https://habr.com/post/450838/

Простые и составные числа: примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Определение 1

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1.

Определение 2

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Определение 3

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Определение 4

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

Определение 5

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7,9, 21, 63, а 121 на 11, 11, то есть его делители будут 1, 11, 121. Число 6697 разложится на 37 и 181. Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000, тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Теорема 1

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Доказательство 1

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1, b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b, который отличен от 1 как и от b. Такой делитель обозначается как b1. Необходимо, чтобы условие 1

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/prostye-i-sostavnye-chisla/

Самое большое число в мире

В детстве меня мучил вопрос, какое существует
самое большое число, и я изводил этим дурацким
вопросом практически всех подряд. Узнав число
миллион, я спрашивал, а есть ли число больше
миллиона. Миллиард? А больше миллиарда? Триллион?
А больше триллиона? Наконец, нашёлся кто-то умный,
кто мне объяснил, что вопрос глуп, так как
достаточно всего лишь прибавить к самому
большому числу единицу, и окажется, что оно
никогда не было самым большим, так как существуют
число ещё больше.

И вот, спустя много лет, я решил задаться другим
вопросом, а именно: какое существует самое
большое число, которое имеет собственное
название? Благо, сейчас есть инет и озадачить
им можно терпеливые поисковые машины, которые не
будут называть мои вопросы идиотскими ;-).
Собственно, это я и сделал, и вот, что в результате
выяснил.

Число	Латинское название	Русская приставка
1	unus	ан-
2	duo	дуо-
3	tres	три-
4	quattuor	квадри-
5	quinque	квинти-
6	sex	сексти-
7	septem	септи-
8	octo	окти-
9	novem	нони-
10	decem	деци-

Существуют две системы наименования чисел —
американская и английская.

Американская система постороена довольно
просто. Все названия больших чисел строятся так:
в начале идет латинское порядковое числительное,
а в конце к ней добавляется суффикс -иллион.
Исключение составляет название «миллион»
которое является названием числа тысяча (лат. mille)
и увеличительного суффикса -иллион (см.

таблицу).
Так получаются числа — триллион, квадриллион,
квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион,
нониллион и дециллион. Американская система
используется в США, Канаде, Франции и России.
Узнать количество нулей в числе, записанном по
американской системе, можно по простой формуле
3·x+3 (где x — латинское числительное).

Английская система наименования наиболее
распространена в мире. Ей пользуются, например, в
Великобритании и Испании, а также в большинстве
бывших английских и испанских колоний.

Названия
чисел в этой системе строятся так: так: к
латинскому числительному добавляют суффикс
-иллион, следущее число (в 1000 раз большее)
строится по принципу — то же самое
латинское числительное, но суффикс — -иллиард.

То есть после триллиона в английской системе
идёт триллиард, а только затем квадриллион, за
которым следует квадриллиард и т.д.

Таким
образом, квадриллион по английской и
американской системам — это совсем разные
числа! Узнать количество нулей в числе,
записанном по английской системе и
оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по
формуле 6·x+3 (где x — латинское числительное) и
по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на
-иллиард.

Из английской системы в русский язык перешло
только число миллиард (10 9), которое всё же
было бы правильнее называть так, как его называют
американцы — биллионом, так как у нас принята
именно американская система.

Но кто у нас в
стране что-то делает по правилам! 😉 Кстати,
иногда в русском языке употребляют и слово
триллиард (можете сами в этом убедиться,
запустив поиск в Гугле или Яндексе) и означает оно, судя по
всему, 1000 триллионов, т.

е. квадриллион.

Кроме чисел, записанных при помощи латинских
префиксов по американской или англйской системе,
известны и так называемые внесистемные числа,
т.е. числа, которые имеют свои собственные
названия безо всяких латинских префиксов. Таких
чисел существует несколько, но подробнее о них я
расскажу чуть позже.

Вернемся к записи при помощи латинских
числительных. Казалось бы, что ими можно
записывать числа до бессконечности, но это не
совсем так. Сейчас объясню почему. Посмотрим для
начала как называются числа от 1 до 10 33:

Название	Число
Единица	10 0
Десять	10 1
Сто	10 2
Тысяча	10 3
Миллион	10 6
Миллиард	10 9
Триллион	10 12
Квадриллион	10 15
Квинтиллион	10 18
Секстиллион	10 21
Септиллион	10 24
Октиллион	10 27
Нониллион	10 30
Дециллион	10 33

И вот, теперь возникает вопрос, а что дальше.

Что
там за дециллионом? В принципе, можно, конечно же,
при помощи объединения приставок породить такие
монстры, как: андецилион, дуодециллион,
тредециллион, кваттордециллион, квиндециллион,
сексдециллион, септемдециллион, октодециллион и
новемдециллион, но это уже будут составные
названия, а нам были интересны именно
собственные названия чисел. Поэтому собственных
имён по этой системе, помимо указанных выше, ещё
можно получить лишь всего три
— вигинтиллион (от лат. viginti —
двадцать), центиллион (от лат. centum — сто) и
миллеиллион (от лат. mille — тысяча). Больше
тысячи собственных названий для чисел у римлян
не имелось (все числа больше тысячи у них были
составными). Например, миллион (1 000 000) римляне
называли decies centena milia, то есть «десять сотен
тысяч». А теперь, собственно, таблица:

Название	Число
Вигинтиллион	10 63
Центиллион	10 303
Миллеиллион	10 3003

Таким образом, по подобной системе числа
больше, чем 10 3003, у которого было бы
собственное, несоставное название получить
невозможно! Но тем не менее числа больше
миллеиллиона известны — это те самые
внесистемные числа. Расскажем, наконец-то, о них.

Название	Число
Мириада	10 4
Гугол	10 100
Асанкхейя	10 140
Гуголплекс	10 10100
Второе число Скьюза	10 10 10 1000
Мега	2[5] (в нотации Мозера)
Мегистон	10 [5] (в нотации Мозера)
Мозер	2[2[5]] (в нотации Мозера)
Число Грэма	G63 (в нотации Грэма)
Стасплекс	G100 (в нотации Грэма)

Самое маленькое такое число — это мириада
(оно есть даже в словаре Даля), которое означает
сотню сотен, то есть — 10 000.

Слово это, правда,
устарело и практически не используется, но
любопытно, что широко используется слово
«мириады», которое означает вовсе не
определённое число, а бесчисленное, несчётное
множество чего-либо.

Считается, что слово мириада
(англ. myriad) пришло в европейские языки из древнего
Египта.

Гугол

Источник: https://ctac.livejournal.com/23807.html

Какое самое большое число и закончится ли оно когда-нибудь?

Это может быть ответом на все вопросы, но мы не думаем, что это самое большое число, которое вы можете придумать (Иллюстрация: Элла Байворт для Metro.co.uk)

Какое самое большое число вы можете придумать?

Миллиард? Триллион? Квадриллион? Секстиллион? Тредециллион? Гугол? Гуголплекс?

На школьном дворе шутят, что бесконечность+1 — это самое большое число из существующих.

Проблема в том, что бесконечность+1 по-прежнему равна бесконечности.

бесконечность ^{бесконечность} ? Еще бесконечность.

Еще большая проблема заключается в том, что бесконечность — это не число, а понятие.

И это самое большое число, которое вы пытаетесь придумать, или это просто название самого большого числа?

В Древней Греции математик Архимед предположил, что самое большое число, которое нам когда-либо понадобится, — это общее количество песчинок во Вселенной. 4) равно 10x10x10x10 или 10 000, и эта степень продолжала увеличиваться, пока Архимед не нашел свое число.8

Это единица, за которой следуют 80 квадриллионов нулей.

В качестве ориентира говорят, что в наблюдаемой Вселенной находится где-то от 10 ⁷⁸ до 10 ⁸² атомов, что составляет тредециллион (10 ⁷⁸ ) или чуть больше.

Число атомов во Вселенной не превышает даже 0,1% числа Зверя.

Несмотря на то, что чисел во Вселенной больше, чем атомов, попытки доказать, что ваше целое число больше, чем чье-либо другое целое число, продолжались веками.100 .

Чтобы показать, насколько смехотворно это число, математик Вольфганг Нитше начал выпускать издания книги, пытаясь записать его.

Это потребовало всего 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 @

Но он это сделал (хотя мы предполагаем, что у него много автоматизированной помощи, о чем мы просили).

Даже тогда есть большее число, значение которого никто не знает:

Мы не можем себе представить, что он написал все это от руки (Фото: Вольганг Х. Ницше)

Число Грэма занесено в Книгу рекордов Гиннеса как самое большое конкретное целое число, использованное в опубликованном математическом доказательстве.

Решить задачу из теории Рамсея, связанную с n-мерным гиперкубом (если вы хотя бы понимаете эту крошечную часть теории, у вас получается лучше, чем у нас).

Число Грэма делится на 3 и оканчивается на 7, его последние 12 цифр — 262464195387, но оно не может быть выражено стандартным образом и слишком велико, чтобы его можно было вычислить полностью.

Но проблема с любым из этих чисел заключается в том, что они не являются «санкционированными» и не очень полезны в повседневной математике или измерениях.

Большой разговор идет о том, какие «полезные» номера следует называть и кто должен отвечать за их присвоение имен.

Имя для гугола (10 ¹⁰⁰ ) впервые придумал сто лет назад девятилетний племянник математика.

«Вы можете придумывать любые названия, которые вам нравятся, но официальные санкционированы в соответствии с тем, что мы называем соглашением об использовании счетчиков», — говорит Metro.co.uk д-р Ричард Браун, глава отдела метрологии в NPL, Национальном институте измерений Великобритании.

‘Это межправительственный договор, в котором государства-члены договариваются о единицах.’

Международный комитет мер и весов (CIPM) собирается один раз в четыре года и отвечает за то, какой будет точный ответ на такие вопросы, как «Сколько весит килограмм?»

Определение килограмма было изменено на последнем саммите.

Большие числа используются в математике, но CIPM больше ориентирован на реальное использование:

Международная система измерений признает килограмм (1000), мега (1 м), гига (1 млрд), тера (1 тн), пета (10 ¹⁵), экза (10 ¹⁸), зетта (10 ²¹). и йотта (10 ²⁴) в качестве префиксов.

Эти префиксы могут использоваться перед любыми измерениями — километрами, мегаметрами, например — но большинство понимают их из байтов вычислений (мегабайт, гигабайт).

И, как считает доктор Браун, нам может понадобиться нечто большее:

‘Появление таких вещей, как квантовые вычисления, скоро переместит нас на этап, когда нам понадобится что-то, превышающее йоттабайт.

‘Исторически эти числа возрастают на десять в степени три, поэтому следующим будет число 10 в степени 27.

Уже много имен путешествуют по Интернету в связи с тем, каким может быть этот новый префикс:

Ксеноттабайт? Шилентнобайт? Домегемегроттебайт? Бронтобайт? Геобайт?

Лучшее из будущего всего

Это все настоящие предложения.

В 2010 году студент из Калифорнии предложил «hella» в качестве префикса для 10 ²⁷ и получил тысячи подписей под онлайн-петицией, но ни эта петиция, ни другие вышеперечисленные так и не попали в CIPM

Д-р Браун, с другой стороны, уже представил официальный документ, ожидающий обсуждения.

Используя для вдохновения греческие и латинские сочинения для девятки (ennea, novem) и 10 (deka, decem), он работал в алфавите в обратном порядке ( z etta, y otta, чтобы прийти к буквам, которых не было). был использован еще

Ронна – для обозначения 10 ²⁷ или 1000 ⁹
Quecca — для представления 10 ³⁰ или 1000 ¹⁰

Доктор Браун говорит, что это только начало дискуссии о том, как мы определяем большие числа.

И это не просто разговор о том, как их называть, но и о том, что означает потребность в префиксах для больших значений в повседневной жизни.

Стратег по работе с большими данными Пол Сондереггер назвал всю эту дискуссию «проблемой любого байта» и считает ее неуместной по сравнению с реальной проблемой:

«У нас не только нет названия для этого объема данных, мы не знаем, как говорить о его последствиях», — сказал Зондереггер Forbes.

Подсчитано, как обсуждалось ранее в серии «Будущее всего», что размер мозга составляет до 2.5 петабайт.

Если это так, то в одном йоттабайте достаточно памяти примерно для 400 миллионов мозгов.

В одном роннабайте, или как бы он ни назывался, было бы место для примерно 4 миллиардов мозгов.

В одном кеккабайте более чем достаточно места для всех знаний каждого когда-либо родившегося человека.

«Йоттабайт (10 ²⁴) по-прежнему является огромной единицей измерения, но он по-прежнему конечен, и мы имеем дело с практическими измерениями, а не с теоретической математикой», — говорит доктор Браун.

‘Нас всегда ограничивает размер вещей, которые мы можем измерить.

‘Мы никогда не будем иметь дело с такими большими вещами, как числа Зверей, гуголы и тому подобное.’

В то время как дебаты об этта/йотта/что угодно часто ведутся вокруг байтов, CIPM на самом деле не признает байт физическим измерением, поскольку у него нет размера.

«На самом деле он не входит в международную систему единиц, — говорит доктор Браун.

‘Очевидно, что мы должны это учитывать, потому что люди в области вычислений используют наши префиксы, и мы должны помнить об этом.

‘Но биты и байты — это не физические единицы, а математические объекты.’

Ученые, с другой стороны, больше озабочены тем, что делают числа, чем беспокоятся о том, как они называются:

«Я не знаю никого, кто использовал бы гуголплекс», — говорит д-р Саймон Фостер, физик-солнечник из Имперского колледжа в Лондоне, Metro.co.uk

‘Мои коллеги, рассматривающие масштабы Вселенной, никогда не имели проблем с числами.

‘Люди, моделирующие галактики, не беспокоятся о том, что их число иссякнет.

Подробнее: Школа

«То, как мы сообщаем нашу науку, может в конечном итоге стать проблемой, но это не проблема для настоящей науки».

Доктор Фостер считает, что вместо того, чтобы стремиться к бесконечно большому числу, экспертам лучше искать все меньшие и меньшие числа:

«Для квантов все происходит наоборот, с крошечными числами — пико (10 ^-12 ) и нано (10 ^-9 ) полезны в качестве сокращения», — говорит он.

Отрицательный коэффициент означает, что вы делите, а не умножаете, поэтому 10 ^-3 (или 10^-3) будет 1/10/10/10 или 0.001.

Но все эти номера уже давно существуют.

Если будут приняты новые термины для 10 ²⁷ (ronna) и 10 ³⁰ (quecca), они станут первыми новыми префиксами с 1991 года.

Следующей возможностью будет встреча в 2022 году, но Де Браун считает, что 2026 год более реалистичен.

«Вы не хотите вносить изменения, которыми никто не воспользуется, вы хотите убедиться, что это правильно», — говорит он.

‘Большой интерес вызывают названия префиксов, но более важное решение: нужно ли вообще расширять систему?’

Если он когда-нибудь пройдет строгие тесты, у доктора Брауна уже есть имя для 10 ³³ в рукаве: Bundecca, основанное на латинском языке для 11, undecim.

B — последняя буква, не используемая в качестве префикса.

После этого у нас закончились письма.

Но неужели нам действительно не хватает номеров?

В кодировании действительно можно исчерпать.

Если вы используете язык программирования JavaScript, то наибольшее целое число, которое вы можете безопасно использовать в 64-битной системе, будет 2 ⁵³ -1, или 9 007 199 254 740 991.

Все, что выше, может отображаться как бесконечность.

В реальном мире имена для чисел могут иссякать, но числа бесконечны, несмотря на то, что говорят вам школьные шутки о бесконечности +1.

Хотя математики разработали теории относительно бесконечности и сложения, пока они не станут общепризнанными, у нас не закончатся числа, а только названия для них.

Будущее всего

Этот фрагмент является частью серии Metro.co.uk «Будущее всего».

От офицеров ордена Британской империи до генеральных директоров, от профессоров до футурологов, от экономистов до социальных теоретиков, от политиков до академиков, получивших множество наград, мы думаем, что у нас есть будущее, вдали от разжигания рока или простых ссылок на отчеты меньшинства.

Каждую неделю мы объясняли, что может (или маловероятно) произойти.

Свяжитесь с нами, используя хэштег #futureofeverthing. Хотя серия больше не выходит еженедельно, если вы считаете, что мы могли пропустить что-то важное для будущего, свяжитесь с нами: [email protected] или [email protected]

Прочитать все истории Future Of Everything

Получите необходимую информацию последние новости, приятные истории, анализ и многое другое

Какое наибольшее конечное число?

Googolplexian+1 — наибольшее конечное число.

Что больше числа Райо?

Таким образом, H(1, 10100) будет намного больше числа Райо. Но тогда мы можем рассмотреть H(2, 10100), которое является наименьшим наименьшим числом, которое не может быть описано в теории множеств первого порядка, дополненным постоянным символом, который выбирает число Райо, и вторым постоянным символом, который выбирает H(1 , 10100).

Какое самое большое число перед бесконечностью?

Какое самое большое число не равно бесконечности? Гугол — это единица с сотней нулей за ней.100).

Какое наименьшее конечное число?

Определение числа Райо является вариацией определения: наименьшее число, большее любого конечного числа, названное выражением на языке теории множеств с символами гугол или меньше.

Является ли гуголплексиан самым большим конечным числом?

Чтобы действительно получить самые большие именованные конечные числа, вы даже не можете сделать их вычислимыми: список невычислимых чисел на вики-гугологии содержит самые большие именованные числа.* Я идеологически против того, чтобы называть его «гуголплексианом», этот веб-сайт настолько плох. Могу ли я прямо сейчас слушать SiriusXM в течение 3 месяцев за 1 доллар? Да, ты можешь.

Какое наименьшее число больше любого конечного числа m?

Учитывая эту формулу, число Райо определяется как: Наименьшее число, большее, чем любое конечное число m, со следующим свойством: существует формула φ(x 1) на языке теории множеств первого порядка (как представлено в определении of `Sat’) с менее чем гугол-символами и x 1 в качестве единственной свободной переменной, так что: (a)…

Существует ли бесконечное число вычислимых больших чисел?

Существует бесконечное количество вычислимых больших чисел, наиболее известная функция ДЕРЕВО, начиная с ДЕРЕВО (3) (ДЕРЕВО (1) = 1 и ДЕРЕВО (2) = 3). Конечно нет, как теоретически, так и по имени. Теоретически наибольшего конечного числа нет и никогда не было.

Какое самое большое конечное число в Minecraft?

Предположим, что переменная Þ начинается с 2 и каждая итерация возводится в Þ-ю степень Þ количество раз.4, который помечен как неопределенный.

⇐ Влияют ли татуировки на руке на возможности трудоустройства? Какая акула наименее опасна? ⇒

Как считать до бесконечности

Нет самого большого, последнего числа… кроме бесконечности. Только бесконечность не число. Но некоторые бесконечности буквально больше других.Давайте посетим некоторые из них и посчитаем мимо них.

Эй, Всоус! Майкл здесь.

Какое самое большое число вы можете придумать? Гугол? Гуголплекс? Миллион-миллион-оплекс? Ну на самом деле самое большое число 40.

Покрывая более 12 000 квадратных метров земли, эти 40, сделанные из стратегически посаженных деревьев в России, больше, чем маркеры батальона на Сигнальном холме в Калгари, 6, найденные на значках Фована в Англии, — даже миля пи Брэди развернулся на Numberphile.40 — это самое большое число … на Земле с точки зрения площади поверхности.

Но с точки зрения количества вещей, которое мы обычно подразумеваем под «большим» числом, 40, вероятно, не самое большое число. Например, есть 41. О, а еще есть 42, и 43 … миллиард, триллион; знаете, какое бы большое число вы ни придумали, вы всегда можете подняться выше.

Значит, нет самого большого, последнего числа… кроме бесконечности? Нет. Бесконечность — это не число. Вместо этого это своего рода число. Вам нужны бесконечные числа, чтобы говорить о бесконечных количествах и сравнивать их, но некоторые бесконечные количества — некоторые бесконечности — буквально больше других.Давайте посетим некоторые из них и посчитаем мимо них.

Обо всем по порядку. Когда число указывает на количество вещей, оно называется «кардинальным числом». Например, 4 банана. 12 флагов. 20 точек. 20 — это «мощность» этого набора точек. Теперь два набора имеют одинаковую мощность, когда они содержат одинаковое количество вещей. Мы можем продемонстрировать это равенство, сопоставив каждый член одного набора один к одному с каждым членом другого. Та же кардинальность, довольно просто.

Мы используем натуральные числа — то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. — в качестве количественных всякий раз, когда говорим о том, сколько существует вещей, но сколько существует натуральных чисел? Это не может быть какое-то число в натуральных числах, потому что после него всегда будет 1 плюс это число.Вместо этого у этой суммы есть уникальное название: «алеф-нуль» (ℵ ₀). Алеф — первая буква еврейского алфавита, а алеф-нуль — первая наименьшая бесконечность. Это количество натуральных чисел. Это также сколько четных чисел, сколько нечетных чисел; это также то, сколько существует рациональных чисел, то есть дробей. Это может показаться удивительным, поскольку на числовой прямой дроби кажутся более многочисленными, но, как показал Кантор, существует способ упорядочить каждое возможное рациональное число так, чтобы натуральные числа можно было поставить в соответствие с ними один к одному.Они имеют одинаковую мощность.

Дело в том, что алеф-нуль — это большое количество; больше любой конечной суммы. Гугол, гуголплекс, гуголплекс факториал в степени гуголплекса в гуголплекс, умноженный на число Грэма в квадрате? Алеф-нуль больше. Но мы можем считать мимо него. Как? Что ж, давайте воспользуемся нашим старым другом — сверхзадачей. Если мы нарисуем кучу линий и сделаем каждую следующую линию частью размера и части расстояния от каждой последней линии, то мы сможем уместить бесконечное количество линий в конечное пространство.Количество строк здесь равно количеству имеющихся натуральных чисел. Эти два могут быть сопоставлены один к одному. Всегда есть следующий естественный, но всегда есть и следующая строка. Оба набора имеют кардинальность алеф-нуль.

Но что произойдет, если я это сделаю? Теперь, сколько линий есть? Алеф-нулевой плюс один? Нет. Бесконечные суммы не похожи на конечные суммы. Здесь по-прежнему только строки с нулевыми алефами, потому что я могу сопоставлять натуральные числа один к одному, как и раньше. Я просто начинаю здесь, а затем продолжаю с самого начала.Понятно, что количество строк не изменилось. Я даже могу добавить еще две строки, еще три, еще четыре — всегда получаю только нулевые алефы. Я могу даже добавить еще один бесконечный алеф-нуль строк и все равно не изменить количество. Каждое четное число может сочетаться с этими и каждое нечетное число с этими. На каждого натурала еще очередь.

Еще один интересный способ увидеть, что эти линии не добавляются к сумме, — показать, что вы можете составить ту же последовательность, вообще не рисуя новые линии. Просто возьмите каждую вторую строку и переместите их все вместе в конец.Это то же самое.

Но подождите секунду. В этом и в этом может быть одинаковое количество вещей, но в них явно есть что-то другое, верно? Я имею в виду, если не из скольких вещей они сделаны, то из чего? Что ж, давайте вернемся к тому, чтобы иметь только одну строку после коллекции размером с нулевой алеф. Что, если вместо того, чтобы сопоставлять натуральные числа один к одному, мы настаиваем на нумерации каждой строки в соответствии с порядком, в котором она была нарисована? Итак, мы должны начать здесь и нумеровать слева направо. Теперь, какой номер получает эта строка? В царстве бесконечности маркировка вещей по порядку — это совсем другое, чем их подсчет.Видите ли, эта строка не участвует в сумме, но для того, чтобы пометить ее в соответствии с порядком, в котором она появилась, нам нужен набор меток чисел, выходящий за пределы натуральных чисел. Нам нужны порядковые номера.

Первый трансфинитный порядковый номер — это омега (ω), строчная греческая буква омега. Это не шутка и не уловка, это буквально просто следующая метка, которая вам понадобится после того, как вы сначала израсходуете бесконечную коллекцию каждого отдельного числа. Если бы вы заняли ω-е место в гонке, это означало бы, что гонку финишировало бесконечное количество людей, и тогда это сделали вы.После ω следует ω+1, которое на самом деле не похоже на число, но так оно и есть, точно так же, как 2, 12 или 800. Затем идут ω+2, ω+3… порядковые номера обозначают вещи по порядку. Порядковые числа — это не количество вещей, а то, как они устроены — тип их порядка.

Тип заказа набора — это просто первый порядковый номер, который не нужен для маркировки всего в наборе по порядку. Таким образом, для конечных чисел мощность и тип порядка одинаковы. Тип порядка всех натуральных чисел — ω.Тип порядка этой последовательности — ω+1, а теперь — ω+2. Неважно, насколько длинной становится аранжировка, пока она хорошо упорядочена, пока каждая ее часть содержит начальный элемент, все это описывает новый порядковый номер. Всегда. Это будет очень важно в дальнейшем.

Здесь следует отметить, что если вы когда-либо играли в игру, которая назовет наибольшее число, и вы думаете сказать «омега плюс один», вам следует быть осторожным. Ваши оппоненты могут потребовать, чтобы число, которое вы называете, было кардиналом, обозначающим сумму.Эти числа относятся к одному и тому же количеству вещей, просто расположенных по-разному. ω+1 не больше, чем ω, оно просто идет после ω.

Но алеф-нуль — это не конец. Почему? Ну, потому что можно показать, что существуют бесконечности больше алеф-нуль, которые буквально содержат больше вещей. Один из лучших способов сделать это — использовать диагональный аргумент Кантора. В моем эпизоде о парадоксе Банаха-Тарского я использовал его, чтобы показать, что количество действительных чисел больше, чем количество натуральных чисел. Но для целей этого видео давайте сосредоточимся на другом, более важном, чем алеф-нуль: наборе мощности алеф-нуль.

Силовой набор набора — это набор всех различных подмножеств, которые вы можете сделать из него. Например, из набора 1 и 2 я могу составить набор из ничего, или 1, или 2, или 1 и 2. Степенной набор 1,2,3: пустой набор, 1 и 2, и 3, и 1 и 2, и 1 и 3, и 2 и 3, и 1,2,3. Как видите, набор мощности содержит гораздо больше элементов, чем исходный набор. Если быть точным, два в той степени, в какой сколько членов было в исходном наборе. Итак, какова мощность всего природного?

Что ж, посмотрим.Представьте себе список всех натуральных чисел. Прохладный. Теперь подмножество всех, скажем, четных чисел будет выглядеть так: да, нет, да, нет, да, нет и так далее. Подмножество всех нечетных чисел будет выглядеть так. Вот подмножество только 3, 7 и 12. А как насчет всех чисел, кроме 5. Или ни одного числа, кроме 5. Очевидно, что этот список подмножеств будет, ну, бесконечным. Но представьте, что все они сопоставляются один к одному с натуральным. Если даже в этом случае есть способ продолжать создавать новые подмножества, которые явно нигде здесь не перечислены, мы будем знать, что у нас есть множество, в котором членов больше, чем натуральных чисел — бесконечность больше, чем алеф-нуль.

Чтобы сделать это, нужно начать здесь, в первом подмножестве, и просто сделать противоположное тому, что мы видим. 0 является членом этого, поэтому наш новый набор не будет содержать 0. Затем двигайтесь по диагонали вниз к членству 1 во втором подмножестве. 1 является его членом, поэтому его не будет в нашем новом. 2 не находится в третьем подмножестве, поэтому оно будет в нашем, и так далее. Как видите, мы описываем подмножество, которое по определению будет отличаться по крайней мере одним способом от любого другого подмножества в этом нулевом списке.Даже если мы вернем это новое подмножество, диагонализация все еще может быть выполнена.

Силовой набор натуралов всегда будет сопротивляться однозначному соответствию с натуралами. Это бесконечно больше, чем алеф-нуль. Многократное применение набора мощности приведет к созданию наборов, которые нельзя привести во взаимно-однозначное соответствие с последними, так что это отличный способ быстро создавать все большие и большие бесконечности. Дело в том, что кардиналов больше после нулевого алеф. Попробуем добраться до них.

Теперь вспомните, что после ω ординалы расщепляются, и эти числа больше не являются количественными.Они не относятся к большему количеству, чем последний кардинал, которого мы достигли, но, возможно, они могут привести нас к одному из них. Подождите … что мы делаем? Алеф-нулевой? Омега? Да ладно, мы использовали эти числа, как будто в этом нет никакой проблемы, но если в какой-то момент здесь внизу вы всегда можете добавить один — всегда — можем ли мы действительно говорить об этом, об этом бесконечном процессе, как о целом, а затем проследить его с помощью что-то?

Конечно можем. Это математика, а не наука! То, что мы считаем истинным в математике, называется аксиомой, и вероятность того, что аксиома, которую мы придумываем, истинна, не выше, если она лучше объясняет или предсказывает то, что мы наблюдаем.Наоборот, это правда, потому что мы так говорим. Его последствия просто становятся тем, что мы наблюдаем. Мы не приспосабливаем наши теории к какой-то физической вселенной, чье поведение и основные законы были бы одинаковыми, были бы мы здесь или нет; мы сами создаем эту вселенную. Если аксиомы, которые мы провозглашаем истинными, приводят нас к противоречиям или парадоксам, мы можем вернуться и изменить их или просто отказаться от них, или мы можем просто отказаться позволять себе делать то, что вызывает парадоксы. Вот и все.Удивительно, однако, то, что, следя за тем, чтобы принимаемые нами аксиомы не приводили к проблемам, мы превратили математику в нечто, что, как говорится, «необоснованно эффективно в естественных науках». Так что в какой степени мы все это изобретаем или открываем — трудно сказать. Все, что нам нужно сделать, чтобы получить ω, это сказать «да будет омега», и все будет хорошо.

Это то, что сделал Эрнест Цермело в 1908 году, когда он включил аксиому бесконечности в свой список аксиом для работы в математике.Аксиома бесконечности — это просто заявление о том, что существует одно бесконечное множество — множество всех натуральных чисел. Если вы отказываетесь принять это, ничего страшного — это делает вас финитистом, тем, кто верит, что существуют только конечные вещи. Но если вы примете это, как это делает большинство математиков, вы сможете продвинуться довольно далеко — мимо этого и через это… в конце концов мы придем к ω+ω, за исключением того, что мы достигли еще одного потолка. Пройти весь путь до ω + ω означало бы создать еще одно бесконечное множество, а аксиома бесконечности гарантирует только то, что это существует.

Придется ли нам добавлять новую аксиому каждый раз, когда мы описываем алеф-нуль-больше чисел? Нет. Здесь нам может помочь Аксиома Замещения. Это предположение гласит, что если вы возьмете набор — например, набор всех натуральных чисел — и замените каждый элемент чем-то другим — например, бананами, — то, что у вас останется, тоже будет набором. Звучит просто, но невероятно полезно. Попробуйте так: возьмите каждый порядковый номер до ω, а затем вместо бананов поставьте перед каждым «ω+». Теперь мы достигли ω+ω, или ω×2.Используя замену, мы можем делать прыжки любого размера, какого захотим, если мы используем только те числа, которые уже достигли. Мы можем заменить каждый порядковый номер до ω на омега, умноженную на него, чтобы получить ω×ω , ω ² . Мы сейчас готовим! Аксиома замены позволяет бесконечно конструировать новые ординалы. В конце концов мы добираемся до ω до ω до ω до ω до ω… и у нас заканчиваются стандартные математические обозначения. Без проблем! Это просто называется «эпсилон-ноль» (ε ₀ ), и мы продолжим отсюда.

А теперь подумайте обо всех этих ординалах. Все разные способы упорядочить алеф-нулевые вещи. Ну, они хорошо упорядочены, поэтому у них есть тип порядка — некоторый порядковый номер, который идет после всех них. В данном случае этот порядковый номер называется «омега-один» (ω1). Теперь, поскольку по определению ω ₁ стоит после каждого отдельного типа порядка или вещей с нулевым алефом, оно должно описывать расположение буквально большего количества вещей, чем последний алеф. Я имею в виду, что если бы это было не так, то оно было бы где-то здесь, но это не так.Кардинальное число, описывающее количество вещей, использованных для размещения с типом заказа ω ₁, равно «алеф-один» (ℵ ₁ ).

Неизвестно, где на этой линии находится набор мощности натуралов. Этого не может быть между этими кардиналами, потому что между ними нет кардиналов. Оно может быть равно алеф-один — это убеждение называется гипотезой континуума. Но он также может быть больше; мы просто не знаем. Гипотеза континуума, между прочим, пожалуй, самый большой вопрос без ответа во всей этой теме, и сегодня в этом видео я не буду его решать, а буду подниматься все выше и выше, во все большие и большие бесконечности.

Теперь, используя аксиому замены, мы можем взять любой порядковый номер, которого мы уже достигли, например, ω, и перейти от алеф к алеф до алеф-омега. Или, черт возьми, почему бы не использовать больший порядковый номер, например ω ², для построения алеф-омега-квадрат? Алеф-омега-омега-омега-омега-омега-омега-о… Наша система обозначений позволяет мне добавлять сюда только счетное число омег, но замена не заботится о том, есть ли у меня способ записать числа, которых она достигает. Где бы я ни приземлился, там будет еще больше чисел, что позволит мне совершать еще большие и многочисленные прыжки, чем раньше.Все это представляет собой дико ускоряющуюся петлю обратной связи эмбиггенинга. Мы можем продолжать в том же духе, достигая все больших и больших бесконечностей снизу.

Замена и повторяющиеся наборы мощности, которые могут совпадать или не совпадать с алефами, могут поддерживать наше восхождение навсегда. Так что ясно, что за ними ничего нет, верно? Не так быстро. Это то, что мы говорили о переходе от конечного к омеге. Почему бы не принять как аксиому, что существует какое-то следующее число, настолько большое, что никакие замены или настройки чего-то меньшего никогда не смогут вас туда привести.Такое число называется «недоступным кардиналом», потому что до него невозможно добраться снизу.

Теперь интересно, что среди чисел, которых мы уже достигли, можно найти тень такого числа: алеф-нуль. Вы также не можете добраться до этого числа снизу. Все числа, меньшие этого числа, конечны, и конечное число конечных чисел нельзя сложить, умножить, возвести в степень, заменить конечными скачками конечное число раз или даже установить мощность конечное число раз, чтобы получить что-либо, кроме другого конечного числа. количество.Несомненно, набор мощности от миллиона к гуголплексу, к гуголплексу к гуголплексу действительно велик, но он все же конечен. Даже близко не алеф-нуль, первая наименьшая бесконечность. По этой причине алеф-нуль часто считается недоступным числом. Однако некоторые авторы этого не делают, говоря, что недоступное также должно быть неисчисляемым, что, ладно, имеет смысл — я имею в виду, что мы уже получили доступ к алеф-нулю, но помните, что единственный способ, которым мы могли бы это сделать, — это прямо объявить его существование аксиоматически.Нам придется сделать то же самое для недоступных кардиналов.

Очень трудно передать, насколько непостижимы размеры недоступного кардинала. Я просто оставлю это на этом: концептуальный прыжок из ничего в первую бесконечность подобен прыжку из первой бесконечности в недоступное. Теоретики множеств описали числа больше, чем недоступные, каждое из которых требует новой аксиомы большого кардинального числа, утверждающей его существование, расширяющей высоту нашей вселенной чисел. Настанет ли когда-нибудь момент, когда мы придумаем аксиому, подразумевающую существование стольких вещей, что она подразумевает противоречащие друг другу вещи? Ответим ли мы когда-нибудь на гипотезу континуума? Может быть, и нет, но есть многообещающие направления, а до тех пор остается удивительным факт, что многие из этих бесконечностей — возможно, все они — настолько велики, что не совсем ясно, существуют ли они на самом деле или могут ли быть показаны в реальности. физическая вселенная.Если они есть, если однажды физика найдет им применение, это прекрасно, но если нет, то это тоже прекрасно. Это означало бы, что с этим мозгом, крошечной штукой, в септиллион раз меньшей, чем крошечная планета, на которой она живет, мы открыли что-то истинное за пределами физического мира. Что-то, что применимо к реальному миру, но в то же время достаточно сильное, чтобы идти дальше, за пределы того, что даже сама Вселенная может вместить, или показать нам, или чем быть.

И как всегда спасибо за просмотр.

Еще один интересный факт о трансфинитных ординалах заключается в том, что арифметика с ними немного отличается.Обычно 2+1 совпадает с 1+2, но ω+1 не совпадает с 1+ω. Один плюс омега на самом деле просто омега. Думайте о них как о типах заказов: одна вещь, помещенная перед омегой, просто использует все натуральные числа и оставляет нас с типом заказа омега. Одна вещь, размещенная после омеги, требует каждого натурального числа, а затем омеги, оставляя нам омегу плюс один в качестве типа заказа.

конечных чисел — Задание — World of Warcraft

Закройте 4 портала и уничтожьте 20 демонов на перевале Мертвого Ветра.

Описание

Похоже, не все средства защиты, которые я установил, были побеждены.Легион не может открывать порталы внутри или рядом с башней… по крайней мере, пока.

Кажется, они ведут подкрепление через катакомбы под перевалом Мертвого Ветра. Отключите их, и вы можете выиграть время, необходимое для того, чтобы выгнать их из Каражана.

Молодец! По крайней мере, сейчас большинство оставшихся демонов, с которыми нам приходится иметь дело, находятся внутри башни.

Не больше тысячи или двух, я уверен.

Награды

Вы получите:

Получение

По завершении этого задания вы получите: Посмотрите, выполнили ли вы это уже, набрав:

 /run print(C_QuestLog.Искуестфлаггедкомполтед (44557))

Направляющие

Сопутствующие

Пожертвовать

Просто найдите свой снимок экрана, используя форму ниже.

Скриншоты, содержащие элементы пользовательского интерфейса, обычно отклоняются сразу после просмотра, то же самое касается скриншотов из просмотра моделей или экрана выбора персонажа.
Чем выше качество, тем лучше!

Просто введите URL-адрес видео в форму ниже.

Wowhead Client — это небольшое приложение, которое мы используем для поддержания нашей базы данных в актуальном состоянии, а также для предоставления вам некоторых отличных дополнительных функций на веб-сайте!

Он служит двум основным целям:

Он поддерживает дополнение WoW под названием Wowhead Looter , которое собирает данные во время игры!
Он загружает собранные данные в Wowhead, чтобы поддерживать базу данных в актуальном состоянии!

Вы также можете использовать его для отслеживания выполненных заданий, рецептов, средств передвижения, питомцев-компаньонов и титулов!

Так чего же ты ждешь? Скачать клиент и начать.

Колебания вязкоупругости на основе конечного числа гантелей

Т.М. Сквайрс, Т.Г. Мейсон, Анну. Преподобный Жидкостный Мех. 42 , 413 (2010)

АДС Статья Google Scholar

Г.Э. Карниадакис, А. Бескок, Н. Алуру, Микропотоки и нанопотоки: основы и моделирование (Спрингер, Нью-Йорк, 2005 г.)

Б. Дж. Кирби, Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрожидкостных устройствах (Cambridge University Press, Cambridge, 2010)

л.Ландау Д., Лифшиц Е.М. Механика жидкости. Курс теоретической физики. 6 (Pergamon Press, Oxford, 1959)

C. Hohenegger, S.A. McKinley, J. Comput. физ. 340 , 688 (2017)

ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google Scholar

К. Хохенеггер, Р. Дурр, Д.М. Сентер, Дж. Неньютон. Жидкостный мех. 242 , 48 (2017)

MathSciNet Статья Google Scholar

А.Vázquez-Quesada, M. Ellero, P. Español, Phys. E 79 , 056707 (2009)

ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google Scholar

А. Васкес-Кесада, М. Эллеро, П. Эспаньол, Microfluid. Наножидкость. 13 , 249 (2012)

Артикул Google Scholar

М. Хюттер, М.А. Хульсен, П.Д. Андерсон, Дж. Неньютон. Жидкостный мех. 256 , 42 (2018)

MathSciNet Статья Google Scholar

А.Н. Берис, Б. Дж. Эдвардс, Дж. Реол. 34 , 503 (1990)

АДС MathSciNet Статья Google Scholar

P. Wapperom, M.A. Hulsen, J. Rheol. 42 , 999 (1998)

АДС Статья Google Scholar

Л.Е. Wedgewood, RB Bird, Ind. Eng. хим. Рез. 27 , 1313 (1988)

Артикул Google Scholar

Х.Гизекус, Реол. Acta 21 , 366 (1982)

Артикул Google Scholar

Х. Гизекус, Дж. Нон-Ньютон. Жидкостный мех. 11 , 69 (1982)

Артикул Google Scholar

Р. Б. Бёрд, Дж. М. Уист, Дж. Реол. 29 , 519 (1985)

АДС Статья Google Scholar

Р.Б. Берд, К.Ф. Кертисс, Р.К. Армстронг, О. Хассагер, Кинетическая теория, динамика полимерных жидкостей, Vol. 2 (Wiley, New York, 1987)

P.T. Андерхилл, П.С. Дойл, Дж. Неньютон. Жидкостный мех. 122 , 3 (2004)

Артикул Google Scholar

P. Ilg, Physica A 387 , 6484 (2008)

ADS Статья Google Scholar

стр.Ильг, Х.К. Оттингер, М. Крегер, Phys. E 79 , 011802 (2009)

ОБЪЯВЛЕНИЕ Статья Google Scholar

М. Хюттер, Х.К. Оттингер, Дж. Неньютон. Жидкостный мех. 271 , 104145 (2019)

MathSciNet Статья Google Scholar

М. Хюттер, М.А. Карроцца, М.А. Хульсен, П.Д. Андерсон, евро. физ. J. E 43 , 24 (2020)

Статья Google Scholar

Х.К. Эттингер, Стохастические процессы в полимерных жидкостях (Спрингер, Берлин, 1996 г.)

Х.К. Оттингер, М. Грмела, Phys. E 56 , 6633 (1997)

ADS MathSciNet Статья Google Scholar

Х.К. Оттингер, За пределами равновесной термодинамики (Wiley, Hoboken, 2005)

C. Гардинер, Справочник по стохастическим методам (Springer, Berlin, 1990)

S.Р. де Гроот, П. Мазур, Неравновесная термодинамика (Северная Голландия, Амстердам, 1962)

Р. Кубо, М. Тода, Н. Хасицуме, Неравновесная статистическая механика, Статистическая физика, Vol. II, 2-е издание (Springer, Berlin, 1991)

Д.Дж. Эванс, Г.П. Моррис, Статистическая механика неравновесных жидкостей (Academic Press, Лондон, 1990)

A. Peterlin, J. Polym. науч. Б Пол. лат. 4 , 287 (1966)

Артикул Google Scholar

Х.П. Маккин, Стохастические интегралы (Academic Press, Нью-Йорк, 1969)

Х.К. Эттингер, Phys. E 57 , 1416 (1998)

АДС Статья Google Scholar

P. Español, F. Vázquez, Philos. Транс. Р. Соц. А 360 , 383 (2002)

АДС Статья Google Scholar

P. Español, Phys. E 80 , 061113 (2009)

ОБЪЯВЛЕНИЕ MathSciNet Статья Google Scholar

К.С. Чо, Корея-Ост. Реол. Ж. 21 , 143 (2009)

Google Scholar

Кусочно-непрерывная функция  с конечным числом N известных…

Контекст 1

… конечное число N известных точек разрыва {xj} ее действительной области определения (x 0 ,xf ) (можно также рассматривать сложный домен). То есть разрывная функция  определяется так, что в каждом из интервалов между парами последовательных точек разрыва (x j , x j+1 ) она задается непрерывной функцией распределения  j , как показано на рис.1. Таким образом, при N=2 мы будем иметь дело с двумя точками разрыва x1, x2, тремя интервалами разбиения (xo, x1), (x1, x2), (x2, xf) и тремя статистическими суммами { 1,  2,  3}. Целью данной работы является нахождение точной, аналитической, но простой аппроксимирующей функции  к разрывной функции  по всей ее …

Контекст 2

…  j на известной абсциссе разрыва xj, упомянутой выше ( Рисунок 1). Эти связующие функции  j на самом деле являются непрерывными функциями, которые мы выбрали для определения в каждой точке разрыва x j через функцию гиперболического тангенса следующим образом (1), определяемую во всей области данной разрывной функции i.е. y (x f -x 0 ). где (xf -x 0 ) размер всей области …

Context 3

… эти девять констант и три заданные функции распределения:  0 ,  1 и  2 (см. рис. (15)) можно написать соответствующую линейную систему двух неоднородных уравнений, чтобы получить вспомогательные функции F 0 и F 1 (см. уравнение (9)): …

Контекст 4

… появляется на рис. 9 ниже. Рис. 9 Три непрерывных кривых представляют нашу аппроксимирующую функцию  1 прерывистой функции  1, изображенной на рис.2. Пунктирные кривые представляют три статистические суммы  j , j=1, 2, 3, которые определяют  1 . Сравните его с рис. 10. Обратите внимание на точность нашей аппроксимации, особенно на двух разрывах, и плавные соединения трех аппроксимационных следов с графиками трех отдельных статистических сумм. Также обратите внимание, что наша аппроксимация преодолевает дивергенцию гиперболической статистической суммы  3 в …

Контекст 5

… На рис.10 мы построили нашу аппроксимацию  1 в действительно малой окрестности размером 210 -10 с центром в точке разрыва x=-0.3 из  1 . …

Контекст 6

… как горизонтальные трассы (не криволинейные трассы с x=-0,3, как на рис. 8). Нам показалось интересным показать значение относительной погрешности нашей аппроксимации в точке x=0,5 в области (-0,3, 0,6) третьей статистической суммы  3 . Напомним, что последняя представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой уравнения x=0,5. Рис. 11 (b) показывает, что такая локальная относительная ошибка намного больше, чем относительная ошибка в другом месте в этой области (ошибки порядка 10 -15 ).Как показано на рис. 12, патологическая сингулярность при х = 0,5 на самом деле дает локальную относительную ошибку всего около 0,3 % нашей аппроксимации, ошибку, которую, конечно, можно считать незначительной для большинства …

Контекст 7

… в точке x=0,5 в области (-0,3, 0,6) третьей статистической суммы  3 . Напомним, что последняя представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой уравнения x=0,5. Рис. 11 (b) показывает, что такая локальная относительная ошибка намного больше, чем относительная ошибка в другом месте в этой области (ошибки порядка 10 -15 ).Как показано на рис. 12, патологическая сингулярность при х = 0,5 фактически дает локальную относительную ошибку всего около 0,3 % от нашего приближения, ошибку, которую, конечно, можно считать незначительной для большинства целей. …

Контекст 8

… появляется на графике ниже на рис. (13) и действительно выглядит как дельта-функция Дирака. что равно ожидаемому значению 1 в пределах действительно малой (расчетной) относительной ошибки e 1 …

Context 9

… мы начертили на рис.14. Обратите внимание, что, как и в предыдущих примерах, построенная аппроксимация снова выглядит практически неотличимой от истинной силы, приложенной к осциллятору, заданной уравнениями. (25). Как объявлено выше, эту аппроксимирующую функцию (t) мы теперь вводим в правую часть дифференциального уравнения движения нашей системы масса-пружина (для которой …

Контекст 10

… является новым дифференциальным уравнением , аналогично уравнению (27), которое можно решить несколькими способами, например, мы получили точное аналитическое решение этого дифференциального уравнения и нашли, что решение x(t) выражается через нашу аппроксимацию  (t) по: осциллирующей функции, изображенной на рис.15 неотличимо от истинных колебаний нашей системы масса-пружина, которые мы также получили, решая точное движение t = 16,65, оно свободно колеблется около x = 0 с амплитудой 1,8, точно так же, как это может быть получено с помощью специального метода Ландау и Лифшица [ 20]. На самом деле амплитуда колебаний при t >t 2 зависит от точного …

Контекст 11

… приводит к постоянной средней вертикальной магнитной силе на кольце. Затем было предсказано и экспериментально измерено (рис.16) положение равновесия кольца и его амплитуда колебаний вели себя как функция, изображенная на рис. 15. …

Контекст 12

… приводит к постоянной средней вертикальной магнитной силе на кольце. Затем было предсказано и экспериментально измерено (рис. 16), что положение равновесия кольца и его амплитуда колебаний вели себя как функция, изображенная на рис. наш метод аппроксимации основан на элементарном определении (уравнение(1) скачками, но с использованием непрерывной функции (см. рис. A-1). Также отметим, что наша регуляризованная связующая функция будет особенно полезна при решении уравнений движения разрывных динамических систем, так называемые уравнения Филиппова …

Context 14

… параметра  могут оказаться полезными, если нужно плавно соединить две соседние перегородки. Конечно, в большинстве случаев требуется, чтобы этот свободный параметр был, скажем, довольно маленьким. Более того, и что действительно важно, наша регуляризованная связующая функция всегда хорошо определена и вообще не показывает явления звона Гиббса (см.(А-1)). Несложно проверить, что исходная соединительная функция  уравнения (1) может быть восстановлена из нашей регуляризованной связующей функции  уравнения. (A-1), просто позволив  быть пренебрежимо малым (скажем,   (10 -4 , 10 -20 …

Дуэль больших чисел

Для всех R {
{для любого (закодированного)

формула [ψ] и любое присвоение переменной t
(R(

[ψ],t) ↔
(

([ψ] = «x _i ∈ x _j» ∧ t(x _i) ∈ t(x _j)) ∨

([ψ] = «x _i = x _j» ∧ t(x _i) = t(x _j)) ∨

([ψ] = «(∼θ)» ∧ ∼R([θ],t)) ∨

([ψ] = «(θ∧ξ)» ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨

([ψ] = «∃x _i (θ)» и для некоторого x _i -варианта t’ t, R([θ],t’))
)}

→
R([φ],s)}

Тогда выигрышная запись выглядит так:

Наименьшее число, большее любого конечного числа m с следующее свойство: существует формула φ(x ₁ ) на языке теории множеств первого порядка (как представлено в определении «Sat») с менее чем a символов гугола и x ₁ в качестве его единственной свободной переменной, такой что: (a) существует присвоение переменной s, присваивающее m значению x ₁ такое, что Sat([φ( x ₁ )],s), и (b) для любого присвоения переменной t, если Sat([φ(x ₁ )],t), то t присваивает m значению x ₁ .
Навигация по записям
Как записывать логи на warcraftlogs: Как пользоваться Warcraftlogs и заливать логи
Стрим сильвернейм: STREAM INSIDE — Новости о стримерах Twitch и YouTube
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Comment
Name*
Email*
Website
Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.

Найти:
Лучшие
Последние
Рубрики
Вовхед
Карта
Карты
Монах
Новости и события
Охотник
Пандари
Подземелья
Разное
Разрушитель
Саргерас
Чернокнижник
Шаман
Copyright © 2024 wow-cool.ru | Kalon Chic by : Rara Theme | Powered by: WordPress.

Какое число самое большое? | Публикации

Один гугол

Гуголплекс

Числа Скьюза

∞. Бесконечность

∞ + 1

Самое большое число в мире: как называется

Бесконечность счетных чисел

Как называется самое большое простое число

Какое самое большое число в мире

Возможно ли представить и записать число за гранью понимания

Как записать G64 с помощью метода Кнута

Самое большое число

Рональд Грэм, друг Бесконечности

Природа числа

Тройка

«Одна стрелка»

«Две стрелки»

«Три стрелки»

«Четыре стрелки»

Рекорды в математике

Самое большое число

Точнейшее значение числа П

Величайшее простое число

Излюбленная теорема

Самое неточное значение числа П

Счетная машинка в голове

Один гугол

Числа Скьюза

∞. Бесконечность

∞ + 1

Самое большое число в мире

Самое большое число в мире

Бесконечность счетных чисел

Как называется самое большое простое число

Какое самое большое число в мире

Возможно ли представить и записать число за гранью понимания

Как записать G64 с помощью метода Кнута

Самое большое число

Внесистемные числа

Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

Простые и составные числа: примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

Простые и составные числа – определения и примеры

Таблица простых чисел

Самое большое число в мире

Какое самое большое число и закончится ли оно когда-нибудь?

Подробнее: Школа

Получите необходимую информацию последние новости, приятные истории, анализ и многое другое

Какое наибольшее конечное число?

Какое наибольшее конечное число?

Что больше числа Райо?

Какое самое большое число перед бесконечностью?

Какое наименьшее конечное число?

Является ли гуголплексиан самым большим конечным числом?

Какое наименьшее число больше любого конечного числа m?

Существует ли бесконечное число вычислимых больших чисел?

Какое самое большое конечное число в Minecraft?

Похожие сообщения:

Как считать до бесконечности

конечных чисел — Задание — World of Warcraft

Описание

Награды

Получение

Направляющие

Сопутствующие

Пожертвовать

Колебания вязкоупругости на основе конечного числа гантелей

Кусочно-непрерывная функция  с конечным числом N известных…

Дуэль больших чисел

Добавить комментарий Отменить ответ